Множественная гамма-функция - Multiple gamma function

В математике множественная гамма-функция ${ displaystyle Gamma _ {N}}$ является обобщением теории Эйлера гамма-функция и G-функция Барнса. Двойная гамма-функция изучалась Барнс (1901). В конце этой статьи он упомянул о существовании нескольких гамма-функций, обобщающих его, и изучил их далее в Барнс (1904).

Двойные гамма-функции ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ тесно связаны с q-гамма-функция, и тройные гамма-функции ${ displaystyle Gamma _ {3}}$ связаны с эллиптическая гамма-функция.

Определение

Для ${ displaystyle Re a_ {i}> 0}$, позволять

${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) = exp left ( left. { frac { partial} { partial s}} zeta _ {N} (s, w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) right | _ {s = 0} right) ,}$

где ${ displaystyle zeta _ {N}}$ это Дзета-функция Барнса. (Это константа отличается от исходного определения Барнса.)

Свойства

Считается мероморфная функция из ${ displaystyle w}$, ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N})}$ не имеет нулей. Имеет полюса на ${ Displaystyle ш = - сумма _ {я = 1} ^ {N} п_ {я} а_ {я}}$для неотрицательных целых чисел ${ displaystyle n_ {i}}$. Эти полюса простые, если некоторые из них не совпадают. С точностью до умножения на экспоненту многочлена, ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N})}$ - единственная мероморфная функция конечного порядка с этими нулями и полюсами.

• ${ Displaystyle Gamma _ {0} (ш середина) = { гидроразрыва {1} {w}} ,}$
• ${ displaystyle Gamma _ {1} (w mid a) = { frac {a ^ {a ^ {- 1} w - { frac {1} {2}}}} { sqrt {2 pi }}} Gamma left (a ^ {- 1} w right) ,}$
• ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) = Gamma _ {N-1} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N -1}) Gamma _ {N} (w + a_ {N} mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) .}$

Бесконечное представление продукта

Множественная гамма-функция имеет представление бесконечного произведения, которое показывает, что она мероморфна, а также проявляет положение ее полюсов. В случае двойной гамма-функции это представление имеет вид ^[1]

${ displaystyle Gamma _ {2} (w mid a_ {1}, a_ {2}) = { frac {e ^ { lambda _ {1} w + lambda _ {2} w ^ {2}} } {w}} prod _ { begin {array} {c} (n_ {1}, n_ {2}) in mathbb {N} ^ {2} (n_ {1}, n_ {2 }) neq (0,0) end {array}} { frac {e ^ {{ frac {w} {n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}}} - { frac {1} {2}} { frac {w ^ {2}} {(n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}) ^ {2}}}}} {1+ { frac {w} {n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}}}}} ,}$

где мы определяем ${ displaystyle w}$-независимые коэффициенты

${ displaystyle lambda _ {1} = - { underset {s = 1} { operatorname {Res} _ {0}}} zeta _ {2} (s, 0 mid a_ {1}, a_ { 2}) ,}$

${ displaystyle lambda _ {2} = { frac {1} {2}} { underset {s = 2} { operatorname {Res} _ {0}}} zeta _ {2} (s, 0 mid a_ {1}, a_ {2}) + { frac {1} {2}} { underset {s = 2} { operatorname {Res} _ {1}}} zeta _ {2} ( s, 0 mid a_ {1}, a_ {2}) ,}$

где ${ displaystyle { underset {s = s_ {0}} { operatorname {Res} _ {n}}} f (s) = { frac {1} {2 pi i}} oint _ {s_ { 0}} (s-s_ {0}) ^ {n-1} f (s) , ds}$ является ${ displaystyle n}$остаток -го порядка при ${ displaystyle s_ {0}}$.

Приведение к G-функции Барнса

Двойная гамма-функция с параметрами ${ displaystyle 1,1}$ подчиняется отношениям ^[1]

${ displaystyle Gamma _ {2} (w + 1 | 1,1) = { frac { sqrt {2 pi}} { Gamma (w)}} Gamma _ {2} (w | 1, 1) quad, quad Gamma _ {2} (1 | 1,1) = { sqrt {2 pi}} .}$

Это связано с G-функция Барнса от

${ displaystyle Gamma _ {2} (w | 1,1) = { frac {(2 pi) ^ { frac {w} {2}}} {G (w)}} .}$

Двойная гамма-функция и конформная теория поля

Для ${ displaystyle Re b> 0}$ и ${ displaystyle Q = b + b ^ {- 1}}$, функция

${ displaystyle Gamma _ {b} (w) = { frac { Gamma _ {2} (w mid b, b ^ {- 1})} { Gamma _ {2} left ({ frac {Q} {2}} mid b, b ^ {- 1} right)}} ,}$

инвариантен относительно ${ displaystyle b to b ^ {- 1}}$, и подчиняется отношениям

${ displaystyle Gamma _ {b} (w + b) = { sqrt {2 pi}} { frac {b ^ {bw - { frac {1} {2}}}} { Gamma (bw )}} Gamma _ {b} (w) quad, quad Gamma _ {b} (w + b ^ {- 1}) = { sqrt {2 pi}} { frac {b ^ { -b ^ {- 1} w + { frac {1} {2}}}} { Gamma (b ^ {- 1} w)}} Gamma _ {b} (w) .}$

Для ${ Displaystyle Re ш> 0}$, имеет интегральное представление

${ displaystyle log Gamma _ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [{ frac {e ^ {- wt} - e ^ {- { frac {Q} {2}} t}} {(1-e ^ {- bt}) (1-e ^ {- b ^ {- 1} t})}} - { frac { left ({ frac {Q} {2}} - w right) ^ {2}} {2}} e ^ {- t} - { frac {{ frac {Q} {2}} - w} {t}} right] .}$

Из функции ${ Displaystyle Gamma _ {b} (ш)}$, мы определяем функция двойного синуса ${ Displaystyle S_ {b} (ш)}$ и Ипсилон функция ${ displaystyle Upsilon _ {b} (ш)}$ от

${ displaystyle S_ {b} (w) = { frac { Gamma _ {b} (w)} { Gamma _ {b} (Qw)}} quad, quad Upsilon _ {b} (w ) = { frac {1} { Gamma _ {b} (w) Gamma _ {b} (Qw)}} .}$

Эти функции подчиняются соотношениям

${ Displaystyle S_ {b} (вес + b) = 2 sin ( pi bw) S_ {b} (w) quad, quad Upsilon _ {b} (w + b) = { frac { Гамма (bw)} { Gamma (1-bw)}} b ^ {1-2bw} Upsilon _ {b} (w) ,}$

плюс отношения, которые получаются ${ displaystyle b to b ^ {- 1}}$. Для ${ Displaystyle 0 < Re ш < Re Q}$ они имеют интегральные представления

${ displaystyle log S_ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [{ frac { sinh left ({ frac { Q} {2}} - w right) t} {2 sinh left ({ frac {1} {2}} bt right) sinh left ({ frac {1} {2}} b ^ {- 1} t right)}} - { frac {Q-2w} {t}} right] ,}$

${ displaystyle log Upsilon _ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [ left ({ frac {Q} {2 }} - w right) ^ {2} e ^ {- t} - { frac { sinh ^ {2} { frac {1} {2}} left ({ frac {Q} {2} } -w right) t} { sinh left ({ frac {1} {2}} bt right) sinh left ({ frac {1} {2}} b ^ {- 1} t верно-верно] .}$

Функции ${ displaystyle Gamma _ {b}, S_ {b}}$ и ${ displaystyle Upsilon _ {b}}$ появляются в корреляционных функциях двумерная конформная теория поля, с параметром ${ displaystyle b}$ связаны с центральным зарядом базового Алгебра Вирасоро.^[2] В частности, трехточечная функция Теория Лиувилля записывается в терминах функции ${ displaystyle Upsilon _ {b}}$.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Барнс, Э. У. (1899), «Происхождение двойных гамма-функций», Proc. Лондонская математика. Soc., s1-31: 358–381, Дои:10.1112 / плмс / с1-31.1.358
• Барнс, Э. У. (1899), "Теория двойной гамма-функции", Труды Лондонского королевского общества, 66 (424–433): 265–268, Дои:10.1098 / rspl.1899.0101, ISSN  0370-1662, JSTOR  116064, S2CID  186213903
• Барнс, Э. У. (1901), "Теория двойной гамма-функции", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера, 196 (274–286): 265–387, Bibcode:1901RSPTA.196..265B, Дои:10.1098 / рста.1901.0006, ISSN  0264-3952, JSTOR  90809
• Барнс, Э. У. (1904), "К теории множественной гамма-функции", Пер. Camb. Филос. Soc., 19: 374–425
• Фридман, Эдуардо; Руйсенаарс, Саймон (2004), "Дзета-функции Шинтани – Барнса и гамма-функции", Успехи в математике, 187 (2): 362–395, Дои:10.1016 / j.aim.2003.07.020, ISSN  0001-8708, Г-Н  2078341
• Руйсенаарс, С. Н. М. (2000), «О множественных дзета и гамма-функциях Барнса», Успехи в математике, 156 (1): 107–132, Дои:10.1006 / aima.2000.1946, ISSN  0001-8708, Г-Н  1800255