Мультипликативный каскад - Multiplicative cascade

В математике мультипликативный каскад^[1][2] это фрактал /мультифрактал распределение точек, полученных с помощью итеративного и мультипликативного случайный процесс.

Модель I (левый график):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} brace = lbrace 1,1,1,0brace}$

Модель II (средний сюжет):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} brace = lbrace 1,0.75,0.75,0.5brace}$

Модель III (правый сюжет):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} brace = lbrace 1,0.5,0.5,0.25brace}$

Графики выше являются примерами мультипликативных каскадных мультифракталов. Чтобы создать эти распределения, необходимо выполнить несколько шагов. Во-первых, мы должны создать решетку ячеек, которая будет нашим основным полем плотности вероятности.

Во-вторых, выполняется итерационный процесс для создания нескольких уровней решетки: на каждой итерации ячейки разделяются на четыре равные части (ячейки). Затем каждой новой ячейке случайным образом присваивается вероятность из набора ${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} скобка}$ без замены, где ${displaystyle p_ {i} in [0,1]}$. Этот процесс продолжается до Nй уровень. Например, при построении такой модели до уровня 8 мы получаем 4⁸ массив ячеек.

В-третьих, ячейки заполняются следующим образом: мы берем вероятность того, что ячейка занята, как произведение собственной ячейки. п_я и всех его родителей (до уровня 1). А Схема отказа Монте-Карло используется повторно, пока не будет получена желаемая популяция клеток, как показано ниже: Икс и у координаты ячейки выбираются случайным образом, и присваивается случайное число от 0 до 1; (Икс, у) ячейка затем заполняется в зависимости от того, является ли присвоенный номер меньше (результат: не заполнено) или больше или равно (результат: заполнено) вероятности занятия ячейки.

Чтобы получить графики выше, мы заполнили поле плотности вероятности 5000 точками в пространстве 256 × 256.

Пример поля плотности вероятности:

Фракталы обычно не масштабно-инвариантны и поэтому не могут считаться стандарт фракталы. Однако их можно считать мультифракталы. Размерность Реньи (обобщенная) можно предсказать теоретически. Это можно показать ^[3] это как ${displaystyle Nightarrow infty}$,

${displaystyle D_ {q} = {frac {log _ {2} left (f_ {1} ^ {q} + f_ {2} ^ {q} + f_ {3} ^ {q} + f_ {4} ^ {) q} ight)} {1-q}},}$

где N - уровень детализации сетки и,

${displaystyle f_ {i} = {frac {p_ {i}} {sum _ {i} p_ {i}}}.}$

Смотрите также

• Фрактальное измерение
• Хаусдорфово измерение
• Масштабная инвариантность

Рекомендации