Интерполяция Неванлинны – Пика - Википедия - Nevanlinna–Pick interpolation

В комплексный анализ, данный исходные данные состоящий из точки в сложном единичном диске и целевые данные состоящий из точки в , то Проблема Неванлинны – Пика. найти голоморфная функция который интерполирует данные, то есть для всех ,

,

при условии ограничения для всех .

Георг Пик и Рольф Неванлинна решила проблему независимо в 1916 и 1919 годах соответственно, показав, что интерполирующая функция существует тогда и только тогда, когда матрица, определенная в терминах исходных и целевых данных, является положительный полуопределенный.

Фон

Теорема Неванлинны – Пика представляет собой -точечное обобщение Лемма Шварца. В инвариантная форма леммы Шварца утверждает, что для голоморфной функции , для всех ,

Параметр , это неравенство эквивалентно утверждению, что матрица

это Выбрать матрицу положительно полуопределено.

В сочетании с леммой Шварца это приводит к наблюдению, что для , существует голоморфная функция такой, что и тогда и только тогда, когда матрица Пика

Теорема Неванлинны – Пика.

Теорема Неванлинны – Пика утверждает следующее. Данный , существует голоморфная функция такой, что тогда и только тогда, когда матрица Пика

положительно полуопределенный. Кроме того, функция является уникальным тогда и только тогда, когда матрица Pick имеет ноль детерминант. В этом случае, это Продукт Blaschke, со степенью, равной рангу матрицы Пика (кроме тривиального случая, когда все такие же).

Обобщение

Обобщение теоремы Неванлинны – Пика стало областью активных исследований в теория операторов следя за работой Дональд Сарасон на Интерполяционная теорема Сарасона.[1] Сарасон дал новое доказательство теоремы Неванлинны – Пика, используя Гильбертово пространство методы с точки зрения операторские сокращения. Другие подходы были развиты в работе Л. де Бранж, и Б. С.-Надь и К. Фойас.

Можно показать, что Харди космос ЧАС 2 это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства, и что его воспроизводящее ядро ​​(известное как Сегё ядро)

По этой причине матрицу Пика можно переписать как

Это описание решения послужило поводом для различных попыток обобщить результат Неванлинны и Пика.

Проблема Неванлинны – Пика может быть обобщена на задачу поиска голоморфной функции который интерполирует заданный набор данных, где р теперь произвольная область комплексной плоскости.

М. Б. Абрахамс показал, что если граница р состоит из конечного числа аналитических кривых (скажем, п + 1), то интерполирующая функция ж существует тогда и только тогда, когда

является положительно полуопределенной матрицей для всех в п-тор. Здесь s - воспроизводящие ядра, соответствующие определенному набору воспроизводящих ядерных гильбертовых пространств, которые связаны с множеством р. Также можно показать, что ж является уникальным тогда и только тогда, когда одна из матриц Пика имеет нулевой определитель.

Примечания

  • Первоначальное доказательство Пика касалось функций с положительной действительной частью. Под дробно-линейной Преобразование Кэли, его результат сохраняется на картах с диска на диск.

Рекомендации

  1. ^ Сарасон, Дональд (1967). "Обобщенная интерполяция в ". Пер. Амер. Математика. Soc. 127: 179–203. Дои:10.1090 / с0002-9947-1967-0208383-8.