Нормальное р-дополнение - Normal p-complement

В математике теория групп, а нормальный p-дополнение из конечная группа для основной п это нормальная подгруппа порядка совмещать к п и индексировать мощность п. Другими словами, группа - это полупрямой продукт нормального п-дополнение и любые Силовский п-подгруппа. Группа называется п-нильпотентный если у него нормальный п-дополнение.

Теорема Кэли о нормальном 2-дополнении

Кэли показал, что если силовская 2-подгруппа группы грамм является циклический то группа имеет нормальное 2-дополнение, что показывает, что силовская 2-подгруппа простая группа четного порядка не может быть циклическим.

Теорема Бернсайда о нормальном p-дополнении

Бернсайд (1911, Теорема II, раздел 243) показал, что если силовский п-подгруппа группы грамм находится в центре своего нормализатора, тогда грамм имеет нормальный п-дополнение. Отсюда следует, что если п наименьшее простое число, делящее порядок группы грамм и силовский п-подгруппа циклическая, то грамм имеет нормальный п-дополнение.

Теорема Фробениуса о нормальном p-дополнении

Нормаль Фробениуса п-теорема о дополнении является усилением нормального Бернсайда. п-теорема дополнения, утверждающая, что если нормализатор любой нетривиальной подгруппы силовского п-подгруппа грамм имеет нормальный п-дополнение, значит тоже грамм. Точнее, следующие условия эквивалентны:

грамм имеет нормальный п-дополнение
Нормализатор всякого нетривиального п-подгруппа имеет нормальный п-дополнение
Для каждого п-подгруппа Q, группа N_грамм(Q) / C_грамм(Q) это п-группа.

Теорема Томпсона о нормальном p-дополнении

Нормаль Фробениуса п-теорема о дополнении показывает, что если любой нормализатор нетривиальной подгруппы силовского п-подгруппа имеет нормальный п-дополнение то же самое грамм. Для приложений часто бывает полезно иметь более сильную версию, в которой вместо использования всех нетривиальных подгрупп силовского п-подгруппа, используются только нетривиальные характеристические подгруппы. Для нечетных простых чисел п Томпсон нашел такой усиленный критерий: на самом деле ему нужны были не все характеристические подгруппы, а только две специальные.

Томпсон (1964) показал, что если п нечетное простое число, а группы N (J (п)) и C (Z (п)) у обоих нормальные п-дополнения для силовской P-подгруппы грамм, тогда грамм имеет нормальный п-дополнение.

В частности, если нормализатор любой нетривиальной характеристической подгруппы группы п имеет нормальный п-дополнение, значит тоже грамм. Этого следствия достаточно для многих приложений.

Результат не для п = 2 как простая группа PSL₂(F₇) порядка 168 - контрпример.

Томпсон (1960) дал более слабый вариант этой теоремы.

Теорема глаубермана о нормальном p-дополнении

Нормальный Томпсон п-теорема дополнения использовала условия для двух конкретных характеристических подгрупп силовского п-подгруппа. Глауберман еще больше улучшил это, показав, что нужно использовать только одну характеристическую подгруппу: центр подгруппы Томпсона.

Глауберман (1968) использовал его ZJ теорема доказать нормальный п-теорема о дополнении, что если п является нечетным простым числом, и нормализатор Z (J (P)) имеет нормальный п-дополнение, для п Силовский п-подгруппа грамм, то так же грамм. Здесь Z обозначает центр группы и J для Подгруппа Томпсона.