Проблема садоводства - Orchard-planting problem

Расположение из девяти точек (связанных с Конфигурация Pappus ) образуя десять трехточечных линий.

В дискретная геометрия, оригинал проблема садоводства запрашивает максимальное количество трехточечных линий, достижимое путем конфигурации определенного количества точек на плоскости. Это также называется проблемой посадки деревьев или просто проблемой сада. Также проводятся исследования того, сколько может быть линий с k-точками. Халлард Т. Крофт и Пол Эрдёш доказано т_k > c п² / k³, куда п количество баллов и т_k это количество k-точечные линии.^[1] В их конструкции есть m-точечные прямые, где m> k. Также можно задать вопрос, если это не разрешено.

Целочисленная последовательность

Определять т₃^{фруктовый сад}(п) как максимальное количество трехточечных линий, достижимое при конфигурации п точки. Для произвольного количества точек п, т₃^{фруктовый сад}(п) оказался (1/6)п² - О (н) в 1974 г.

Первые несколько значений т₃^{фруктовый сад}(п) приведены в следующей таблице (последовательность A003035 в OEIS ).

Верхняя и нижняя границы

Поскольку никакие две прямые не могут иметь две разные точки, банальный верхняя граница для количества трехточечных линий, определяемых п очков

${ Displaystyle left lfloor { binom {n} {2}} { Big /} { binom {3} {2}} right rfloor = left lfloor { frac {n ^ {2} -n} {6}} right rfloor.}$

Используя тот факт, что количество двухточечных линий не менее 6п/13 (Чима и Сойер 1993 ), эту верхнюю границу можно понизить до

${ displaystyle left lfloor { frac {{ binom {n} {2}} - 6n / 13} {3}} right rfloor = left lfloor { frac {n ^ {2}} { 6}} - { frac {25n} {78}} right rfloor.}$

Нижние оценки для т₃^{фруктовый сад}(п) задаются построениями для множеств точек с множеством 3-точечных прямых. Самая ранняя квадратичная нижняя оценка ~ (1/8)п² был дан Сильвестр, кто разместил п точки на кубической кривой у = Икс³. Это было улучшено до [(1/6)п² − (1/2)п] + 1 в 1974 г., автор Заусенец, Грюнбаум, и Sloane  (1974 ), используя конструкцию на основе Эллиптические функции Вейерштрасса. Элементарная конструкция с использованием гипоциклоиды был найден Füredi & Palásti (1984) достижение той же нижней границы.

В сентябре 2013 г. Бен Грин и Теренс Тао опубликовали статью, в которой доказывают, что для всех точечных множеств достаточного размера п > п₀, их не более ([п(п - 3)/6]  + 1) = [(1/6)п² − (1/2)п + 1] 3-точечные прямые, которые соответствуют нижней границе, установленной Бурром, Грюнбаумом и Слоаном.^[2] Это немного лучше, чем оценка, которая непосредственно следует из их точной нижней границы п/ 2 для количества 2-точечные линии: [п(п - 2) / 6], доказанный в той же статье и решающий задачу 1951 г., поставленную независимо Габриэль Эндрю Дирак и Теодор Моцкин.

Примечания

Рекомендации

• Латунь, П .; Moser, W.O.J .; Пах, Дж. (2005), Проблемы исследования дискретной геометрии, Springer-Verlag, ISBN  0-387-23815-8.
• Берр, С.А.; Грюнбаум, Б.; Слоан, Н. Дж. А. (1974), "Проблема фруктового сада", Geometriae Dedicata, 2 (4): 397–424, Дои:10.1007 / BF00147569.
• Csima, J .; Сойер, Э. (1993), «Существует 6п/ 13 обыкновенных очков », Дискретная и вычислительная геометрия, 9: 187–202, Дои:10.1007 / BF02189318.
• Фюреди, З.; Паласти, И. (1984), «Расположение линий с большим количеством треугольников», Труды Американского математического общества, 92 (4): 561–566, Дои:10.2307/2045427, JSTOR  2045427.
• Грин, Бен; Тао, Теренс (2013), «О множествах, определяющих несколько обычных линий», Дискретная и вычислительная геометрия, 50 (2): 409–468, arXiv:1208.4714, Дои:10.1007 / s00454-013-9518-9

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Садово-посадочная проблема". MathWorld.