Ориентированная проективная геометрия - Википедия - Oriented projective geometry

Ориентированная проективная геометрия является ориентированный версия настоящего проективная геометрия.

В то время как реальная проективная плоскость описывает множество всех неориентированных прямых, проходящих через начало координат в р³, то ориентированная проективная плоскость описывает линии с заданной ориентацией. Есть приложения в компьютерная графика и компьютерное зрение где необходимо различать лучи, свет излучаемый или поглощаемый точкой.

Элементы в ориентированном проективном пространстве определяются с помощью знаковых однородные координаты. Позволять ${ Displaystyle mathbf {R} _ {*} ^ {п}}$ быть набором элементов ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ без учета происхождения.

1. Ориентированная проективная линия, ${ displaystyle mathbf {T} ^ {1}}$: ${ Displaystyle (х, ш) в mathbf {R} _ {*} ^ {2}}$, с отношение эквивалентности ${ Displaystyle (х, ш) сим (топор, ау) ,}$ для всех ${ displaystyle a> 0}$.
2. Ориентированная проективная плоскость, ${ displaystyle mathbf {T} ^ {2}}$: ${ Displaystyle (х, у, ш) в mathbf {R} _ {*} ^ {3}}$, с ${ Displaystyle (х, у, ш) сим (топор, ау, ав) ,}$ для всех ${ displaystyle a> 0}$.

Эти пространства можно рассматривать как продолжение евклидово пространство. ${ displaystyle mathbf {T} ^ {1}}$ можно рассматривать как объединение двух копий ${ displaystyle mathbf {R}}$, множества (Икс, 1) и (Икс, -1) плюс две дополнительные бесконечно удаленные точки (1,0) и (-1,0). так же ${ displaystyle mathbf {T} ^ {2}}$ можно просмотреть две копии ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$, (Икс,у, 1) и (Икс,у, -1) плюс одна копия ${ displaystyle mathbf {T}}$ (Икс,у,0).

Альтернативный способ просмотра пространств - это точки на окружности или сфере, заданные точками (Икс,у,ш) с

Икс²+у²+z²=1.

Расстояния между двумя точками

${ displaystyle p = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {w})}$

и

${ displaystyle q = (q_ {x}, q_ {y}, q_ {w})}$

в

${ displaystyle mathbf {T} ^ {2}}$

можно определить как элементы в ${ displaystyle mathbf {T} ^ {1}}$

${ displaystyle ((p_ {x} q_ {w} -q_ {x} p_ {w}) ^ {2} + (p_ {y} q_ {w} -q_ {y} p_ {w}) ^ {2 }, mathrm {sign} (p_ {w} q_ {w}) (p_ {w} q_ {w}) ^ {2}) ,.}$

Рекомендации

• Столфи, Хорхе (1991). Ориентированная проективная геометрия. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-672025-9.
  Из оригинала Стэнфорд Кандидат наук. диссертация, Примитивы для вычислительной геометрии, доступно как [1].
• А. Г. Оливейра, П. Дж. Де Резенде, Ф. П. СельмиДей Расширение CGAL к ориентированной проекционной плоскости T2 и ее системе динамической визуализации, 21-й ежегодный симпозиум ACM. по вычислительной геометрии, Пиза, Италия, 2005.
• Гали, Шериф (2008). Введение в геометрические вычисления. Springer. ISBN  978-1-84800-114-5.
  Хорошее введение в ориентированную проективную геометрию в главах 14 и 15. Подробнее на сайте авторов. Шериф Гали.