Теория ПКФ - PCF theory

Теория ПКФ это имя математический теория, представленная Сахароном Шелахом (1978 ), который касается конфинальность из сверхпродукты из заказанные наборы. Он дает строгие оценки сверху мощности комплекты питания из единственное число кардиналы, а также имеет множество других приложений. Аббревиатура «PCF» означает «возможные окончательности ".

Основные определения

Если А это бесконечный набор обычные кардиналы, D является ультрафильтр на А, то пусть ${ Displaystyle cf ( prod A / D)}$ обозначают конфинальность упорядоченного множества функций ${ displaystyle prod A}$ где порядок определяется следующим образом. ${ displaystyle f$ если ${ Displaystyle {х в А: е (х) <г (х) } в D}$ . pcf (А) - это набор конфинальностей, которые возникают, если рассматривать все ультрафильтры на А, то есть,

{ displaystyle { rm {pcf}} (A) = {cf ( prod A / D): D , , { mbox {- ультрафильтр на}} , , A }.}

Основные результаты

Очевидно, pcf (А) состоит из обычных кардиналов. Учитывая ультрафильтры, сконцентрированные на элементах Амы получаем это ${ Displaystyle А substeq { rm {pcf}} (А)}$ . Шелах доказал, что если ${ Displaystyle | А | < мин (А)}$ , затем pcf (А) имеет наибольший элемент, и есть подмножества ${ displaystyle {B _ { theta}: theta in { rm {pcf}} (A) }}$ из А так что для каждого ультрафильтра D на А, ${ Displaystyle cf ( prod A / D)}$ - наименьший элемент θ в pcf (А) такие, что ${ displaystyle B _ { theta} in D}$ . Как следствие, ${ displaystyle | { rm {pcf}} (A) | leq 2 ^ {| A |}}$ . Шелах также доказал, что если А - интервал регулярных кардиналов (т. е. А - множество всех регулярных кардиналов между двумя кардиналами), то pcf (А) также является интервалом регулярных кардиналов и | pcf (А)|<|А|⁺⁴. Отсюда следует известное неравенство

{ displaystyle 2 ^ { aleph _ { omega}} < aleph _ { omega _ {4}}}

предполагая, что ℵ_ω является сильный предел.

Если λ - бесконечный кардинал, то J_<λ следующий идеал на А. B∈J_<λ если ${ displaystyle cf ( prod A / D) < lambda}$ выполняется для каждого ультрафильтра D с B∈D. потом J_<λ идеал, порожденный множествами ${ displaystyle {B _ { theta}: theta in { rm {pcf}} (A), theta < lambda }}$ . Существуют напольные весы, т.е. для любого λ∈pcf (А) существует последовательность длины λ элементов ${ displaystyle prod B _ { lambda}}$ который является одновременно увеличивающимся и окончательным модом J_<λ. Это означает, что конфинальность ${ displaystyle prod A}$ при поточечном преобладании max (pcf (А)). Другое следствие состоит в том, что если λ особенное и не существует регулярного кардинала меньше λ Йонссон, то и λ⁺ это не Йонссон. В частности, есть Алгебра Йонссона на ℵ_{ω + 1}, что опровергает старую гипотезу.

Нерешенные проблемы

Наиболее известная гипотеза в теории pcf гласит, что | pcf (А)|=|А| выполняется для каждого набора А регулярных кардиналов с |А| <мин (А). Это означало бы, что если ℵ_ω сильный предел, то точная оценка

{ displaystyle 2 ^ { aleph _ { omega}} < aleph _ { omega _ {1}}}

держит. Аналогичная оценка

{ displaystyle 2 ^ { aleph _ { omega _ {1}}} < aleph _ { omega _ {2}}}

следует из Гипотеза Чанга (Магидор ) или даже из-за отсутствия Курепа дерево (Шела ).

Более слабая, еще не решенная гипотеза гласит, что если |А| <мин (А), затем pcf (А) не имеет недоступной предельной точки. Это эквивалентно утверждению, что pcf (pcf (А)) = pcf (А).

Приложения

Эта теория нашла множество приложений, помимо кардинальной арифметики. В оригинальном обзоре Шелаха Кардинальная арифметика для скептиков, включает следующие темы: почти свободные абелевы группы, проблемы разбиения, несоблюдение цепных условий в булевых алгебрах при произведениях, существование алгебр Йонссона, существование запутанных линейных порядков, эквивалентно узкие булевы алгебры и существование неизоморфных моделей, эквивалентных в определенная бесконечная логика.

Между тем, многие другие приложения были найдены в теории множеств, теории моделей, алгебре и топологии.

внешняя ссылка

Менахем Койман: Теория ПКФ
Шела, Сахарон (1978), "Алгебры Йонссона в последующих кардиналах", Израильский математический журнал, 30 (1): 57–64, Дои:10.1007 / BF02760829, МИСТЕР 0505434
Шела, Сахарон (1992), «Кардинальная арифметика для скептиков», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 26 (2): 197–210, arXiv:математика / 9201251, Дои:10.1090 / s0273-0979-1992-00261-6, МИСТЕР 1112424