Функция параболического цилиндра - Википедия - Parabolic cylinder function

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Функции параболического цилиндра возникают, когда разделение переменных используется на Уравнение Лапласа в этих координатах

В математика, то функции параболического цилиндра находятся специальные функции определены как решения дифференциального уравнения

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + left ({ tilde {a}} z ^ {2} + { tilde {b}} z + { tilde) {c}} right) f = 0.}$

(1)

Это уравнение найдено, когда техника разделение переменных используется на Уравнение Лапласа когда выражено в параболические цилиндрические координаты.

Вышеупомянутое уравнение может быть преобразовано в две различные формы (A) и (B) с помощью завершение квадрата и масштабирование z, называется Х. Ф. Вебер уравнения (Вебер 1869 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWeber1869 (помощь):

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} - left ({ tfrac {1} {4}} z ^ {2} + a right) f = 0}$ (А)

и

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + left ({ tfrac {1} {4}} z ^ {2} -a right) f = 0. }$ (В)

Если

${ Displaystyle е (а, г) ,}$

это решение, то также

${ Displaystyle f (a, -z), f (-a, iz) { text {и}} f (-a, -iz). ,}$

Если

${ Displaystyle е (а, г) ,}$

является решением уравнения (A), то

${ Displaystyle f (-ia, ze ^ {(1/4) pi i}) ,}$

является решением (B), и в силу симметрии

${ displaystyle f (-ia, -ze ^ {(1/4) pi i}), f (ia, -ze ^ {- (1/4) pi i}) { text {and}} f (ia, ze ^ {- (1/4) pi i}) ,}$

также являются решениями (B).

Решения

Существуют независимые четные и нечетные решения вида (A). Они даются (в соответствии с обозначениями Абрамовиц и Стегун (1965)):

${ displaystyle y_ {1} (a; z) = exp (-z ^ {2} / 4) ; _ {1} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}} a + { tfrac {1} {4}}; ; { tfrac {1} {2}} ;; ; { frac {z ^ {2}} {2}} right) , , , , , , ( mathrm {даже})}$

и

${ displaystyle y_ {2} (a; z) = z exp (-z ^ {2} / 4) ; _ {1} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}} a + { tfrac {3} {4}}; ; { tfrac {3} {2}} ;; ; { frac {z ^ {2}} {2}} right) , , , , , , ( mathrm {odd})}$

куда ${ Displaystyle ; _ {1} F_ {1} (a; b; z) = M (a; b; z)}$ это конфлюэнтная гипергеометрическая функция.

Другие пары независимых решений могут быть сформированы из линейных комбинаций вышеуказанных решений (см. Абрамовиц и Стегун). Одна такая пара основана на их поведении на бесконечности:

${ Displaystyle U (a, z) = { frac {1} {2 ^ { xi} { sqrt { pi}}}} left [ cos ( xi pi) Gamma (1/2 - xi) , y_ {1} (a, z) - { sqrt {2}} sin ( xi pi) Gamma (1- xi) , y_ {2} (a, z) верно]}$

${ Displaystyle V (a, z) = { frac {1} {2 ^ { xi} { sqrt { pi}} Gamma [1/2-a]}} left [ sin ( xi pi) Gamma (1 / 2- xi) , y_ {1} (a, z) + { sqrt {2}} cos ( xi pi) Gamma (1- xi) , y_ {2} (a, z) right]}$

куда

${ displaystyle xi = { frac {1} {2}} a + { frac {1} {4}}.}$

Функция U(а, z) стремится к нулю при больших значениях z и | arg (z) | <π / 2, а V(а, z) расходится при больших положительных вещественных z .

${ displaystyle lim _ {z rightarrow infty} U (a, z) / e ^ {- z ^ {2} / 4} z ^ {- a-1/2} = 1 , , , , ({ text {for}} , | arg (z) | < pi / 2)}$

и

${ displaystyle lim _ {z rightarrow infty} V (a, z) / { sqrt { frac {2} { pi}}} e ^ {z ^ {2} / 4} z ^ {a -1/2} = 1 , , , , ({ text {for}} , arg (z) = 0).}$

За полуцелое число ценности а, эти (то есть U и V) может быть перевыражено через Полиномы Эрмита; альтернативно, они также могут быть выражены в терминах Функции Бесселя.

Функции U и V также может быть связано с функциями D_п(Икс) (обозначение, восходящее к Уиттекеру (1902 г.)), которые сами иногда называют функциями параболического цилиндра (см. Абрамовиц и Стегун (1965 г.)):

${ Displaystyle U (а, х) = D _ {- а - { tfrac {1} {2}}} (х),}$

${ Displaystyle V (a, x) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} {2}} + a)} { pi}} [ sin ( pi a) D _ {- a- { tfrac {1} {2}}} (x) + D _ {- a - { tfrac {1} {2}}} (- x)].}$

Функция D_а(z) был введен Уиттакером и Ватсоном как решение уравнения ~ (1) с ${ displaystyle { tilde {a}} = - { frac {1} {4}}, { tilde {b}} = 0, { tilde {c}} = a + { frac {1} {2 }}}$ ограниченный в ${ displaystyle + infty}$. Его можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции как

${ displaystyle D_ {a} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} {2 ^ {a / 2} e ^ {- { frac {z ^ {2}} {4 }}} left ( cos left ({ frac { pi a} {2}} right) Gamma left ({ frac {a + 1} {2}} right) , _ { 1} F_ {1} left (- { frac {a} {2}}; { frac {1} {2}}; { frac {z ^ {2}} {2}} right) + { sqrt {2}} z sin left ({ frac { pi a} {2}} right) Gamma left ({ frac {a} {2}} + 1 right) , _ {1} F_ {1} left ({ frac {1} {2}} - { frac {a} {2}}; { frac {3} {2}}; { frac {z ^ {2}} {2}} right) right)}.}$

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Декабрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 19». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 686. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Вебера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Темме, Н. М. (2010), «Функция параболического цилиндра», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Вебер, Х.Ф. (1869) "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ${ displaystyle partial ^ {2} u / partial x ^ {2} + partial ^ {2} u / partial y ^ {2} + k ^ {2} u = 0}$". Математика. Анна., 1, 1–36
• Уиттакер, E.T. (1902) «О функциях, связанных с параболическим цилиндром в гармоническом анализе» Proc. Лондонская математика. Soc.35, 417–427.
• Уиттакер, Э. Т. и Уотсон, Г. Н. «Функция параболического цилиндра». §16.5 в курсе современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 347-348, 1990.