Интерполяция Парето - Pareto interpolation

Интерполяция Парето это метод оценка то медиана и другие свойства популяции, которая следует Распределение Парето. Он используется в экономика при анализе распределения доходов населения, когда необходимо основывать оценки на относительно небольшой случайной выборке, взятой из населения.

Семейство распределений Парето параметризуется следующим образом:

• положительное число κ, которое является наименьшим значением, которое случайная переменная с распределением Парето можно взять. Применительно к распределению доходов κ - самый низкий доход любого человека в населении; и
• положительное число θ «индекс Парето»; по мере увеличения этого хвоста распределения становится тоньше. Применительно к распределению доходов это означает, что чем больше значение индекса Парето θ, тем меньше доля доходов, во много раз превышающих самые маленькие доходы.

Интерполяция Парето может использоваться, когда доступная информация включает долю выборки, которая находится ниже каждого из двух указанных чисел. а < б. Например, можно заметить, что 45% лиц в выборке имеют доходы ниже а = 35000 долларов в год, а 55% имеют доход ниже б = 40 000 долларов США в год.

Позволять

п_а = доля выборки, которая находится ниже а;

п_б = доля выборки, которая находится ниже б.

Тогда оценки κ и θ равны

${ displaystyle { widehat { kappa}} = left ({ frac {P_ {b} -P_ {a}} { left (1 / a ^ { widehat { theta}} right) - left (1 / b ^ { widehat { theta}} right)}} right) ^ {1 / { widehat { theta}}}}$

и

${ displaystyle { widehat { theta}} ; = ; { frac { log (1-P_ {a}) - log (1-P_ {b})} { log (b) - log (a)}}.}$

Тогда оценка медианы будет

${ displaystyle { mbox {оценочная медиана}} = { widehat { kappa}} cdot 2 ^ {1 / { widehat { theta}}}, ,}$

поскольку фактическая медиана населения

${ displaystyle { mbox {median}} = kappa , 2 ^ {1 / theta}. ,}$

использованная литература

• Бюро переписи населения США, Меморандум о статистических методах, использованных в обследовании доходов 2001 г. (PDF). См. Уравнение 10 на стр. 24.
• Stults, Брайан Дж., Получение медианного дохода домохозяйства. Дает вывод уравнений для интерполяции Парето.