Частичная геометрия - Partial geometry

An структура заболеваемости ${displaystyle C = (P, L, I)}$ состоит из точек ${displaystyle P}$ , линии ${displaystyle L}$ , и флаги ${displaystyle Isubseteq P imes L}$ где точка ${displaystyle p}$ считается инцидентом с линией ${displaystyle l}$ если ${displaystyle (p, l) in I}$ . Это (конечный ) частичная геометрия если есть целые числа ${displaystyle s, t, alpha geq 1}$ такой, что:

Для любой пары различных точек ${displaystyle p}$ и ${displaystyle q}$ , существует не более одной инцидентной линии с ними обоими.
Каждая строка инцидент с ${displaystyle s + 1}$ точки.
Каждая точка связана с ${displaystyle t + 1}$ линий.
Если точка ${displaystyle p}$ и линия ${displaystyle l}$ не случайны, есть ровно ${displaystyle alpha}$ пары ${displaystyle (q, m) in I}$ , так что ${displaystyle p}$ инцидент с ${displaystyle m}$ и ${displaystyle q}$ инцидент с ${displaystyle l}$ .

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается как ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ .

Характеристики

Количество баллов определяется как ${displaystyle {frac {(s + 1) (st + alpha)} {alpha}}}$ и количество строк на ${displaystyle {frac {(t + 1) (st + alpha)} {alpha}}}$ .
Точечный график (также известный как график коллинеарности ) из ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ это сильно регулярный граф: ${displaystyle srg ((s + 1) {frac {(st + alpha)} {alpha}}, s (t + 1), s-1 + t (alpha -1), alpha (t + 1))}$ .
Частичные геометрии - это двойственные структуры: двойственная ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ просто ${displaystyle pg (t, s, alpha)}$ .

Особый случай

В обобщенные четырехугольники это именно те частичные геометрии ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ с ${displaystyle alpha = 1}$ .
В Системы Штайнера это именно те частичные геометрии ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ с ${displaystyle alpha = s + 1}$ .

Обобщения

А частичное линейное пространство ${displaystyle S = (P, L, I)}$ порядка ${displaystyle s, t}$ называется получастичной геометрией, если есть целые числа ${displaystyle alpha geq 1, mu}$ такой, что:

Если точка ${displaystyle p}$ и линия ${displaystyle ell}$ не случайны, есть либо ${displaystyle 0}$ или точно ${displaystyle alpha}$ пары ${displaystyle (q, m) in I}$ , так что ${displaystyle p}$ инцидент с ${displaystyle m}$ и ${displaystyle q}$ инцидент с ${displaystyle ell}$ .
Каждая пара неколлинеарных точек имеет ровно ${displaystyle mu}$ общие соседи.

Полупарциальная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда ${displaystyle mu = alpha (t + 1)}$ .

Нетрудно показать, что граф коллинеарности такой геометрии сильно регулярен с параметрами ${displaystyle (1 + s (t + 1) + s (t + 1) t (s-alpha +1) / mu, s (t + 1), s-1 + t (альфа -1), mu)}$ .

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки ${displaystyle PG (3, q ^ {2})}$ и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра; у него есть параметры ${displaystyle (s, t, alpha, mu) = (q ^ {2} -1, q ^ {2} + q, q, q (q + 1))}$ .

Смотрите также

Максимальная дуга

Частичная геометрия - Partial geometry

Содержание

Характеристики

Особый случай

Обобщения

Смотрите также

Рекомендации