Регулярность разбиения - Википедия - Partition regularity

В комбинаторика, филиал математика, регулярность разбиения это одно из представлений о размахе коллекция наборов.

Учитывая набор ${ displaystyle X}$ , набор подмножеств ${ Displaystyle mathbb {S} subset { mathcal {P}} (X)}$ называется перегородка регулярная если каждый набор А в коллекции есть свойство, что как бы А разбивается на конечное число подмножеств, хотя бы одно из подмножеств также будет принадлежать набору. То есть для любого ${ displaystyle A in mathbb {S}}$ , и любое конечное разбиение ${ Displaystyle A = C_ {1} чашка C_ {2} чашка cdots чашка C_ {n}}$ , существует я ≤ п, так что ${ displaystyle C_ {i}}$ принадлежит ${ Displaystyle mathbb {S}}$ . Теория Рамсея иногда характеризуется как изучение каких коллекций ${ Displaystyle mathbb {S}}$ являются регулярными разделами.

Примеры

совокупность всех бесконечных подмножеств бесконечного множества Икс это типичный пример. В этом случае регулярность разбиения утверждает, что каждое конечное разбиение бесконечного множества имеет бесконечную ячейку (т.е. принцип голубятни.)
множества с положительной верхней плотностью в ${ Displaystyle mathbb {N}}$ : the верхняя плотность ${ Displaystyle { overline {d}} (А)}$ из ${ Displaystyle А подмножество mathbb {N}}$ определяется как ${ displaystyle { overline {d}} (A) = limsup _ {n rightarrow infty} { frac {| {1,2, ldots, n } cap A |} {n}} .}$ (Теорема Семереди )
Для любого ультрафильтр ${ Displaystyle mathbb {U}}$ на съемочной площадке ${ displaystyle X}$ , ${ Displaystyle mathbb {U}}$ регулярность раздела: для любого ${ displaystyle A in mathbb {U}}$ , если ${ Displaystyle A = C_ {1} sqcup cdots sqcup C_ {п}}$ , то ровно один ${ displaystyle C_ {i} in mathbb {U}}$ .
множеств повторения: множество R целых чисел называется набор повторений если по какой-либо мере сохраняющее преобразование ${ displaystyle T}$ вероятностного пространства (Ω, β, μ) и ${ Displaystyle А в бета}$ положительной меры существует ненулевое ${ displaystyle n in R}$ так что ${ displaystyle mu (A cap T ^ {n} A)> 0}$ .
Назовите подмножество натуральных чисел богатый на п.п. если он содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Тогда набор п.п.-богатых подмножеств является регулярным по разбиению (Ван дер Варден, 1927).
Позволять ${ Displaystyle [А] ^ {п}}$ быть набором всех п-подмножества ${ Displaystyle А подмножество mathbb {N}}$ . Позволять ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n} = bigcup _ {A subset mathbb {N}} ^ {} [A] ^ {n}}$ . Для каждого n, ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п}}$ раздел регулярный. (Рэмси, 1930).
Для каждого бесконечного кардинала ${ displaystyle kappa}$ , собрание стационарные наборы из ${ displaystyle kappa}$ раздел регулярный. Верно больше: если ${ displaystyle S}$ стационарный и ${ Displaystyle S = bigcup _ { alpha < lambda} S _ { alpha}}$ для некоторых ${ Displaystyle лямбда < каппа}$ , то некоторые ${ displaystyle S _ { alpha}}$ стационарный.
сборник ${ displaystyle Delta}$ -наборы: ${ Displaystyle А подмножество mathbb {N}}$ это ${ displaystyle Delta}$ -установить, если ${ displaystyle A}$ содержит множество отличий ${ displaystyle {s_ {m} -s_ {n}: m, n in mathbb {N}, n$ для некоторой последовательности ${ displaystyle langle s_ {n} rangle _ {n = 1} ^ { omega}}$ .
комплекс барьеров на ${ Displaystyle mathbb {N}}$ $mathbb {N}$ : вызвать коллекцию ${ displaystyle mathbb {B}}$ $mathbb {B}$ конечных подмножеств ${ Displaystyle mathbb {N}}$ $mathbb {N}$ а барьер если:
- ${ displaystyle forall X, Y in mathbb {B}, X not subset Y}$ и
- для всего бесконечного ${ Displaystyle I подмножество чашка mathbb {B}}$ , существует некоторое ${ Displaystyle X in mathbb {B}}$ такие, что элементы X являются наименьшими элементами I; т.е. ${ displaystyle X subset I}$ и ${ displaystyle forall i in I setminus X, forall x in X, x$ .

Это обобщает Теорема Рамсея, поскольку каждый

{ Displaystyle [А] ^ {п}}

это барьер. (Нэш-Вильямс, 1965)

конечные произведения бесконечных деревьев (Halpern – Läuchli, 1966)
кусочно-синдетические множества (Браун, 1968)
Назовите подмножество натуральных чисел i.p. богатый если он содержит сколь угодно большие конечные множества вместе со всеми их конечными суммами. Тогда набор i.p.-богатых подмножеств является регулярным по разбиению (Folkman –Rado –Сандерс, 1968).
(м, п, c) -наборы (Deuber, 1973)
Наборы IP (Hindman, 1974, см. Также Hindman, Strauss, 1998)
MT^k наборы для каждого k, т.е. k-наборы конечных сумм (Милликен – Тейлор, 1975)
центральные наборы; т.е. члены любого минимального идемпотента в ${ displaystyle beta mathbb {N}}$ , то Каменно-чешская компактификация целых чисел. (Furstenberg, 1981, см. Также Hindman, Strauss, 1998)

Регулярность разбиения - Википедия - Partition regularity

Примеры

Рекомендации