Перидинамика - Peridynamics

А пластичный разрушение сплава Al-Mg-Si. А перелом это математическая особенность к которому классические уравнения механика сплошной среды не может применяться напрямую - Перидинамика предлагает численный метод.

Перидинамика формулировка механика сплошной среды что ориентировано на деформации с разрывами, особенно переломы.

Цель

Теория перидинамики основана на интегральные уравнения, в отличие от классической теории механики сплошных сред, основанной на уравнения в частных производных. С частные производные не существуют на поверхностях трещин и других особенности, классические уравнения механика сплошной среды не может применяться напрямую, когда такие функции присутствуют в деформация. Интегральные уравнения перидинамической теории можно применять напрямую, поскольку они не требуют частных производных.

Возможность применять одни и те же уравнения непосредственно во всех точках математической модели деформируемой конструкции помогает перидинамическому подходу избежать необходимости использования специальных методов механика разрушения. Например, в перидинамике нет необходимости в отдельном законе роста трещины на основе коэффициент интенсивности напряжений.

Определение и основная терминология

Основное уравнение перидинамики следующее уравнение движения:

{displaystyle ho (x) {ddot {u}} (x, t) = int _ {R} f (u (x ', t) -u (x, t), x'-x, x) dV_ {x '} + b (x, t)}

куда ${displaystyle x}$ точка в теле ${displaystyle R}$ , ${displaystyle t}$ время, ${displaystyle u}$ это вектор смещения поле и ${displaystyle ho}$ - плотность массы недеформированного тела. ${displaystyle x '}$ - фиктивная переменная интегрирования.

В вектор ценится функция ${displaystyle f}$ это плотность силы, которая ${displaystyle x '}$ оказывает на ${displaystyle x}$ . Эта плотность силы зависит от векторов относительного смещения и относительного положения между ${displaystyle x '}$ и ${displaystyle x}$ . В размеры из ${displaystyle f}$ сила на квадрат объема. Функция ${displaystyle f}$ называется «парной силовой функцией» и содержит все учредительный (зависящие от материала) свойства. Он описывает, как внутренние силы зависят от деформации.

Взаимодействие между любыми ${displaystyle x}$ и ${displaystyle x '}$ называется «облигацией». Физический механизм этого взаимодействия уточнять не нужно. Обычно предполагается, что ${displaystyle f}$ исчезает всякий раз, когда ${displaystyle x '}$ находится за пределами района ${displaystyle x}$ (в недеформированной конфигурации) называется горизонт.

Термин «перидинамический», прилагательное, был предложен в 2000 году и происходит от приставки пери что значит вокруг, возле, или же окружающий; и корень дина, что значит сила или же мощность. Термин «перидинамика», существительное, представляет собой сокращенную форму выражения перидинамическая модель механики твердого тела.

Парные силовые функции

Используя сокращенные обозначения ${displaystyle u = u (x, t)}$ и ${displaystyle u '= u (x', t)}$ Третий закон Ньютона накладывает следующее ограничение на ${displaystyle f}$ :

{displaystyle displaystyle f (u-u ', x-x', x ') = - f (u'-u, x'-x, x)}

для любого ${displaystyle x, x ', u, u'}$ . Это уравнение утверждает, что вектор плотности силы, ${displaystyle x}$ оказывает на ${displaystyle x '}$ равно минус вектор плотности силы, который ${displaystyle x '}$ оказывает на ${displaystyle x}$ . Баланс угловой момент требует, чтобы ${displaystyle f}$ быть параллельным вектору, связывающему деформированное положение ${displaystyle x}$ в деформированное положение ${displaystyle x '}$ :

{displaystyle displaystyle ((x '+ u') - (x + u)) imes f (u'-u, x'-x, x) = 0.}

Парная силовая функция задается графиком ${displaystyle | f |}$ против удлинения связи ${displaystyle e}$ , определяется

${displaystyle displaystyle e = | (x '+ u') - (x + u) | - | x'-x |.}$

Схема парной силовой функции для связи, соединяющей две типичные точки, показана на следующем рисунке:

Повреждать

Повреждение включается в функцию парной силы, позволяя связям разрываться, когда их удлинение превышает некоторое заданное значение. После разрыва связи она больше не выдерживает никакой силы, и конечные точки фактически разъединяются друг от друга. Когда связь разрывается, сила, которую она несла, перераспределяется на другие связи, которые еще не разорвались. Эта повышенная нагрузка повышает вероятность разрыва этих других связей. Процесс разрыва связи и перераспределения нагрузки, ведущий к дальнейшему разрыву, - вот как растут трещины в перидинамической модели.

Перидинамические состояния

Компьютерная модель шейки алюминиевого стержня под напряжением. Цвета указывают на повышение температуры из-за нагрева пластика. Расчет выполнен с помощью компьютерного кода Emu с использованием перидинамических состояний.

Описанная выше теория предполагает, что каждая перидинамическая связь реагирует независимо от всех остальных. Это чрезмерное упрощение для большинства материалов и приводит к ограничениям на типы материалов, которые можно моделировать. В частности, из этого предположения следует, что любой изотропное линейное упругое тело ограничен коэффициент Пуассона из 1/4.

Чтобы восполнить этот недостаток общности, была введена идея «перидинамических состояний». Это позволяет плотности силы в каждой связке зависеть от растяжений во всех связях, соединенных с ее конечными точками, в дополнение к ее собственному растяжению. Например, сила облигации может зависеть от изменений чистого объема в конечных точках. Эффект этого изменения объема относительно эффекта растяжения связи определяет коэффициент Пуассона. С перидинамическими состояниями любой материал, который можно смоделировать в рамках стандартной теории механика сплошной среды можно моделировать как перидинамический материал, сохраняя при этом преимущества перидинамической теории разрушения.

Подробное обсуждение интегральной формы уравнений механики твердого тела и ограничений на форму ядра можно найти в книге И.А. Кунина «Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. 1975 (на русском языке); Кунин И. А. Упругие среды с микроструктурой I. Одномерные модели (Берлин, Springer, 1982); Кунин И. А. Упругие среды с микроструктурой. II. Трехмерные модели (Springer, Berlin, 1983) (на английском языке).

Смотрите также

дальнейшее чтение

Силлинг, С. А. (2000). «Переформулировка теории упругости для разрывов и дальнодействующих сил». Журнал механики и физики твердого тела. 48: 175–209. Дои:10.1016 / S0022-5096 (99) 00029-0.

С. А. Силлинг, М. Циммерманн и Р. Абейяратне, "Деформация перидинамического стержня", Journal of Elasticity, Vol. 73 (2003) 173-190. Дои:10.1023 / B: ELAS.0000029931.03844.4f
С. А. Силлинг и Ф. Бобару, "Перидинамическое моделирование мембран и волокон", Международный журнал нелинейной механики, Vol. 40 (2005) 395-409. Дои:10.1016 / j.ijnonlinmec.2004.08.004
О. Векнер и Р. Абэяратне, "Влияние дальнодействующих сил на динамику стержня", Журнал механики и физики твердого тела, Vol. 53 (2005) 705-728. Дои:10.1016 / j.jmps.2004.08.006
Силлинг С. А. и Аскари Э. "Безсеточный метод, основанный на перидинамической модели механики твердого тела", Компьютеры и конструкции, Vol. 83 (2005) 1526-1535. Дои:10.1016 / j.compstruc.2004.11.026
К. Даял и К. Бхаттачарья, "Кинетика фазовых превращений в перидинамической формулировке механики сплошной среды", Журнал механики и физики твердого тела, Vol. 54 (2006) 1811-1842. Дои:10.1016 / j.jmps.2006.04.001
В. Герстле, Н. Сау и С. Силлинг, "Перидинамическое моделирование бетонных конструкций", Nuclear Engineering and Design, Vol. 237 (2007) 1250-1258. Дои:10.1016 / j.nucengdes.2006.10.002
У. Герстле, "Введение в практическую перидинамику", World Scientific, Inc., (2016) http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/9687 .
Э. Эммрих и О. Векнер, "О корректности линейной перидинамической модели и ее сходимости к уравнению линейной упругости Навье", Сообщения в области математических наук, Vol. 5 (2007), стр. 851–864. https://web.archive.org/web/20110713051126/http://www.intlpress.com/CMS/p/2007/issue5-4/CMS-5-4-A6-Emmrich.pdf
С. А. Силлинг, М. Эптон, О. Векнер, Дж. Сюй и Э. Аскари, "Перидинамические состояния и конститутивное моделирование", Journal of Elasticity, Vol. 88 (2007) 151-184. Дои:10.1007 / s10659-007-9125-1
Ф. Бобару, "Влияние сил Ван-дер-Ваальса на повышение прочности и ударной вязкости при динамическом разрушении сетей из нановолокон: перидинамический подход", Моделирование и моделирование в материаловедении и инженерии, Vol. 15 (2007) 397-417. Дои:10.1088/0965-0393/15/5/002
Р. В. Мацек и С. А. Силлинг, "Перидинамика через анализ конечных элементов", Конечные элементы в анализе и проектировании, Vol. 43, выпуск 15, (2007) 1169-1178. Дои:10.1016 / j.finel.2007.08.012
Силлинг С. А. и Лехук Р. Б. "Сходимость перидинамики к классической теории упругости", Journal of Elasticity, Vol. 93 (2008) 13-37. Дои:10.1007 / s10659-008-9163-3
М. Л. Паркс, Р. Б. Лехук, С. Плимптон и С. Силлинг, "Реализация перидинамики в коде молекулярной динамики", Computer Physics Communications, Vol. 179 (2008), стр. 777–783. Дои:10.1016 / j.cpc.2008.06.011
Ф. Бобару, М. Ян, Л. Ф. Алвес, С. А. Силлинг, Э. Аскари и Дж. Сюй, «Сходимость, адаптивное уточнение и масштабирование в одномерной перидинамике», Международный журнал численных методов в инженерии, Vol. 77, выпуск 6 (2009) 852-877. Дои:10.1002 / nme.2439
Э. Аскари, Ф. Бобару, Р. Б. Лехук, М. Л. Паркс, С. А. Силлинг и О. Векнер, «Перидинамика для многомасштабного моделирования материалов», Scidac 2008. Journal of Physics: Conference Series, Vol. 125 (2008) 012078 (11 стр.). Дои:10.1088/1742-6596/125/1/012078
П. Селесон, М. Паркс, М. Гунцбургер и Р. Б. Лехук, "Перидинамика как апскейлинг молекулярной динамики", Мультимасштабное моделирование и моделирование, Vol. 8, выпуск 1 (2009) 204-227. Дои:10.1137 / 09074807X
С. А. Силлинг, О. Векнер, Э. Аскари и Ф. Бобару, "Зарождение трещин в перидинамическом твердом теле", International Journal of Fracture, Vol. 162 (1-2), (2010) 219-227. Дои:10.1007 / s10704-010-9447-z
YD. Ха и Ф. Бобару, "Исследования динамического распространения трещин и ветвления трещин с помощью перидинамики", International Journal of Fracture, Vol. 162 (1-2), (2010) 229-244. Дои:10.1007 / s10704-010-9442-4
Ф. Бобару и М. Дуангпанья, "Перидинамическая формулировка переходной теплопроводности", Международный журнал тепломассопереноса, Vol. 53 (19-20), (2010) 4047-4059. Дои:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2010.05.024
Силлинг С.А., Лехук Р.Б. "Перидинамическая теория механики твердого тела", Успехи прикладной механики, Vol. 44, (2010) 73-168. Дои:10.1016 / S0065-2156 (10) 44002-8
YD. Ха и Ф. Бобару, "Характеристики динамического хрупкого разрушения, зафиксированные с помощью перидинамики", Engineering Fracture Mechanics, Vol. 78, (2011) 1156–1168. Дои:10.1016 / j.engfracmech.2010.11.020
A. Agwai, I. Guven и E. Madenci, "Прогнозирование распространения трещин с помощью перидинамики: сравнительное исследование", International Journal of Fracture, Vol. 171 (1), (2011) 65-78. Дои:10.1007 / s10704-011-9628-4
Силлинг С.А., "Метод огрубления для линейной перидинамики", Международный журнал многомасштабной вычислительной техники, Vol. 9 (6), (2011) 609-622. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002674
О. Векнер и С.А. Силлинг, "Определение нелокальных материальных уравнений из соотношений дисперсии фононов", Международный журнал по многомасштабной вычислительной инженерии, Vol. 9 (6), (2011) 623-634. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002688
Ф. Бобару и Ю.Д. Ха, «Адаптивное уточнение и многомасштабное моделирование в двумерной перидинамике», Международный журнал многомасштабной вычислительной инженерии, Vol. 9 (6), (2011) 635-660. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002793
Н. Берч и Р. Лехук, "Классические, нелокальные и дробные уравнения диффузии в ограниченных областях", Международный журнал многомасштабной вычислительной техники, Vol. 9 (6), (2011) 661-674. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002402
Дж. Фостер, С.А. Силлинг и В. Чен, «Критерий отказа на основе энергии для использования с перидинамическими состояниями», Международный журнал многомасштабной вычислительной техники, Vol. 9 (6), (2011) 675-688. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002407
П. Селесон, М. Паркс, "О роли функции влияния в теории перидинамики", Международный журнал многомасштабной вычислительной техники, Vol. 9 (6), (2011) 689-706. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002527
W. Hu, YD. Ха, и Ф. Бобару, "Моделирование динамического разрушения и повреждения в композитной пластине, армированной волокном, с перидинамикой", Международный журнал многомасштабной вычислительной техники, Vol. 9 (6), (2011) 707-726. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.2011002651
Т. Цзя и Д. Лю, Перидинамические приложения для ортотропных материалов, Управление армейских исследований, сентябрь 2012 г. http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA586026
Ф. Бобару и В. Ху, «Значение, выбор и использование перидинамического горизонта и его связь с ветвлением трещин в хрупких материалах», International Journal of Fracture, Vol. 176, (2012) 215–222. Дои:10.1007 / s10704-012-9725-z
W. Hu, YD. Ха, Ф. Бобару и С.А. Силлинг, "Формулировка и вычисление нелокального J-интеграла в перидинамике на основе облигаций", International Journal of Fracture, Vol. 176, (2012) 195–206. Дои:10.1007 / s10704-012-9745-8
W. Hu, YD. Ха, Ф. Бобару, "Перидинамическая модель динамического разрушения в однонаправленных композитах, армированных волокном", Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Vol. 217–220, (2012) 247–261. Дои:10.1016 / j.cma.2012.01.016
В. Лю и Дж. У. Хонг, "Дискретная перидинамика для линейных упругих тел", Вычислительная механика, Vol. 50, (2012) 579-590. Дои:10.1007 / s00466-012-0690-1
В. Лю и Дж. У. Хонг, "Дискретная перидинамика хрупких и вязких твердых тел", Международный журнал численных методов в машиностроении, Vol. 89, (2012) 1028-1046. Дои:10.1002 / nme.3278
В. Лю и Дж. У. Хонг, "Связанный подход дискретной перидинамики с методом конечных элементов", Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Vol. 245–246, (2012) 163–175. Дои:10.1016 / j.cma.2012.07.006
Ф. Бобару и М. Дуангпанья, "Перидинамическая формулировка переходной теплопроводности в телах с развивающимися разрывами", Журнал вычислительной физики, Vol. 231 (7), (2012) 2764-2785. Дои:10.1016 / j.jcp.2011.12.017
С. Р. Чоудхури, М. М. Рахаман, Д. Рой и Н. Сундарам, "Микрополярная перидинамическая теория в линейной упругости", Международный журнал твердых тел и структур, Vol. 59, (2015) 171-182. Дои:10.1016 / j.ijsolstr.2015.01.018
Р. Липтон, «Динамика когезии и хрупкое разрушение», журнал упругости, (2015) 1-49. Дои:10.1007 / s10659-015-9564-z
П. Диль, Ф. Франзелин, Д. Пфлюгер и Г. К. Ганценмюллер, «Перидинамика на основе Бонда: количественное исследование раскрытия трещин в режиме I», Международный журнал разрушения, (2016), 1-14. Дои:10.1007 / s10704-016-0119-5
Э. Маденчи и Э. Отеркус, "Перидинамическая теория и ее приложения", Springer, (2014) https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4614-8465-3.
Д. Де Мео, Н. Чжу и Э. Отеркус, "Перидинамическое моделирование гранулированного разрушения в поликристаллических материалах", Журнал инженерных материалов и технологий ASME, Vol. 138 (4), (2016) 041008. Дои:10.1115/1.4033634
С. Р. Чоудхури, П. Рой, Д. Рой и Дж. Редди, "Перидинамическая теория для линейных упругих оболочек", Международный журнал твердых тел и структур, Vol. 84, (2016), 110-132. Дои:10.1016 / j.ijsolstr.2016.01.019
Диль П. и др., «Извлечение фрагментов и волн после повреждения при ударе в моделировании на основе частиц», бессеточные методы для уравнений с частными производными VIII. Конспект лекций по вычислительным наукам и технике, Vol. 115, (2017), 17-34. Дои:10.1007/978-3-319-51954-8_2
М. Буслер и др., "Визуализация развития трещин в перидинамике", Компьютеры и графика, (2017), Дои:10.1016 / j.cag.2017.05.003
Диль П. и др., "Обзор эталонных экспериментов для проверки моделей перидинамики", Журнал перидинамики и нелокального моделирования, (2019), Дои:10.1007 / с42102-018-0004-х

Обширный список публикаций по перидинамике можно найти в PeriDoX.