Коэффициенты трения Перрина - Perrin friction factors

В гидродинамика, то Коэффициенты трения Перрина являются мультипликативными поправками на поступательное и вращательное трение жесткого сфероида относительно соответствующих трений в сферах того же объема. Эти коэффициенты трения были впервые рассчитаны Жан-Батист Перрен.

Эти факторы относятся к сфероиды (т.е. чтобы эллипсоиды революции), которые характеризуются осевое отношение р = (а / б), определяемая здесь как осевая полуось а(т.е. полуось по оси вращения), деленная на экваториальную полуось б. В вытянутые сфероиды, осевое отношение p> 1 так как осевая полуось длиннее экваториальных полуосей. И наоборот, в сплюснутые сфероиды, осевое отношение р <1 так как осевая полуось короче экваториальной полуоси. Наконец, в сферы, осевое отношение р = 1, так как все три полуоси равны по длине.

Формулы, представленные ниже, предполагают "прилипание" (не "скольжение") граничных условий, т.е. предполагается, что скорость жидкости равна нулю на поверхности сфероида.

Фактор S Perrin

Для краткости в приведенных ниже уравнениях определим Фактор S Perrin. За вытянутый сфероиды (то есть сфероиды в форме сигар с двумя короткими осями и одной длинной осью)

${displaystyle S {stackrel {mathrm {def}} {=}} 2 {frac {mathrm {atanh} xi} {xi}}}$

где параметр ${displaystyle xi}$ определено

${displaystyle xi {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {sqrt {left | p ^ {2} -1ight |}} {p}}}$

Аналогично для сплюснутый сфероиды (т. е. сфероиды в форме диска с двумя длинными осями и одной короткой осью)

${displaystyle S {stackrel {mathrm {def}} {=}} 2 {frac {mathrm {atan} xi} {xi}}}$

Для сфер, ${displaystyle S = 2}$, как можно показать, взяв предел ${displaystyle pightarrow 1}$ для вытянутых или сжатых сфероидов.

Коэффициент поступательного трения

Коэффициент трения произвольного сфероида объема ${displaystyle V}$ равно

${displaystyle f_ {tot} = f_ {сфера} f_ {P}}$

куда ${displaystyle f_ {сфера}}$ - коэффициент поступательного трения шара эквивалентного объем (Закон Стокса )

${displaystyle f_ {сфера} = 6pi eta R_ {eff} = 6pi eta left ({frac {3V} {4pi}} ight) ^ {(1/3)}}$

и ${displaystyle f_ {P}}$ это Коэффициент поступательного трения Перрина

${displaystyle f_ {P} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {2p ^ {2/3}} {S}}}$

Коэффициент трения связан с постоянной диффузии D посредством Соотношение Эйнштейна

${displaystyle D = {frac {k_ {B} T} {f_ {tot}}}}$

Следовательно, ${displaystyle f_ {tot}}$ можно измерить напрямую, используя аналитическое ультрацентрифугирование, или косвенно с использованием различных методов для определения постоянной диффузии (например, ЯМР и динамическое рассеяние света ).

Коэффициент трения вращения

Для обычного сфероида существует два фактора трения вращения, один для вращения вокруг осевой полуоси (обозначен ${displaystyle F_ {ax}}$) и другой для вращения вокруг одной из экваториальных полуосей (обозначены ${displaystyle F_ {eq}}$). Перрин показало, что

${displaystyle F_ {ax} {stackrel {mathrm {def}} {=}} left ({frac {4} {3}} ight) {frac {p ^ {2} -1} {2p ^ {2} -S }}}$

${displaystyle F_ {eq} {stackrel {mathrm {def}} {=}} left ({frac {4} {3}} ight) {frac {(1 / p) ^ {2} -p ^ {2}} {2-Sleft [2- (1 / p) ^ {2} ight]}}}$

как для вытянутых, так и для сплюснутых сфероидов. Для сфер, ${displaystyle F_ {ax} = F_ {eq} = 1}$, как можно увидеть, взяв предел ${displaystyle pightarrow 1}$.

Эти формулы могут быть численно нестабильными, когда ${displaystyle papprox 1}$, поскольку числитель и знаменатель обращаются в ноль в ${displaystyle pightarrow 1}$ предел. В таких случаях может быть лучше расширить серию, например,

${displaystyle {frac {1} {F_ {ax}}} = 1.0 + left ({frac {4} {5}} ight) left ({frac {xi ^ {2}} {1 + xi ^ {2}}) } ight) + left ({frac {4cdot 6} {5cdot 7}} ight) left ({frac {xi ^ {2}} {1 + xi ^ {2}}} ight) ^ {2} + left ({ frac {4cdot 6cdot 8} {5cdot 7cdot 9}} ight) left ({frac {xi ^ {2}} {1 + xi ^ {2}}} ight) ^ {3} + ldots}$

для сплюснутых сфероидов.

Постоянные времени вращательной релаксации

Коэффициенты трения вращения редко наблюдаются напрямую. Скорее, измеряется экспоненциальная вращательная релаксация (я) в ответ на ориентирующую силу (такую ​​как поток, приложенное электрическое поле и т. Д.). Постоянная времени релаксации вектора осевого направления равна

${displaystyle au _ {ax} = left ({frac {1} {k_ {B} T}} ight) {frac {F_ {eq}} {2}}}$

тогда как для векторов экваториального направления

${displaystyle au _ {eq} = left ({frac {1} {k_ {B} T}} ight) {frac {F_ {ax} F_ {eq}} {F_ {ax} + F_ {eq}}}}$

Эти постоянные времени могут значительно отличаться, когда осевое отношение ${displaystyle ho}$ значительно отклоняется от 1, особенно для вытянутых сфероидов. Экспериментальные методы измерения этих постоянных времени включают анизотропия флуоресценции, ЯМР, двойное лучепреломление потока и диэлектрическая спектроскопия.

Может показаться парадоксальным, что ${displaystyle au _ {ax}}$ вовлекает ${displaystyle F_ {eq}}$. Это возникает из-за того, что изменение ориентации вектора осевого направления происходит через повороты вокруг оси. перпендикуляр оси, т.е. около экваториальных осей. Аналогичные рассуждения относятся к ${displaystyle au _ {eq}}$.

Рекомендации

• Кантор ЧР и Шиммель ПР. (1980) Биофизическая химия. Часть II. Методы изучения биологической структуры и функций, В. Х. Фриман, стр. 561-562.
• Koenig SH. (1975) "Броуновское движение эллипсоида. Поправка к результатам Перрина". Биополимеры 14: 2421-2423.