Кусочный синдетический набор - Википедия - Piecewise syndetic set

В математика, кусочная синдетичность представляет собой понятие обширности подмножеств натуральные числа.

Множество ${ Displaystyle S подмножество mathbb {N}}$ называется кусочно-синдетический если существует конечное подмножество грамм из ${ Displaystyle mathbb {N}}$ такое, что для любого конечного подмножества F из ${ Displaystyle mathbb {N}}$ существует ${ Displaystyle х в mathbb {N}}$ такой, что

{ Displaystyle х + F подмножество bigcup _ {п в G} (S-n)}

куда ${ Displaystyle S-N = {m in mathbb {N}: m + n in S }}$ . Эквивалентно, S является кусочно-синдетическим, если существует постоянная б такие, что существуют сколь угодно длинные интервалы ${ Displaystyle mathbb {N}}$ где пробелы в S ограничены б.

Характеристики

Множество является кусочно-синдетическим тогда и только тогда, когда оно является пересечением синдетический набор и толстый набор.
Если S кусочно синдетический, то S содержит произвольно длинные арифметические прогрессии.
Множество S кусочно синдетично тогда и только тогда, когда существует некоторый ультрафильтр U который содержит S и U находится в наименьшем двустороннем идеале ${ displaystyle beta mathbb {N}}$ , то Каменно-чешская компактификация натуральных чисел.
Регулярность разбиения: если ${ displaystyle S}$ является кусочно-синдетическим и ${ Displaystyle S = C_ {1} чашка C_ {2} чашка ... чашка C_ {n}}$ , то для некоторых ${ Displaystyle я Leq п}$ , ${ displaystyle C_ {i}}$ содержит кусочно-синдетическое множество. (Браун, 1968)
Если А и B являются подмножествами ${ Displaystyle mathbb {N}}$ , и А и B иметь положительный верхняя банахова плотность, тогда ${ displaystyle A + B = {a + b: a in A, b in B }}$ кусочно-синдетический^[1]