Теорема Пуанкаре – Миранды - Википедия - Poincaré–Miranda theorem

В математике Теорема Пуанкаре – Миранды является обобщением теорема о промежуточном значении, от одной функции в одном измерении до п функции в п размеры. В нем говорится следующее:

Учитывать ${ displaystyle n}$ непрерывные функции ${ displaystyle n}$ переменные, ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$. Предположим, что для каждой переменной ${ displaystyle x_ {i}}$, функция ${ displaystyle f_ {i}}$ постоянно отрицательный, когда ${ displaystyle x_ {i} = - 1}$ и постоянно положительный, когда ${ displaystyle x_ {i} = 1}$. Тогда есть точка в ${ displaystyle n}$-размерный куб ${ Displaystyle [-1,1] ^ {п}}$ в котором все функции одновременно равно ${ displaystyle 0}$.

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре, который предположил это в 1883 году, и Карло Миранда, который в 1940 году показал, что он эквивалентен Теорема Брауэра о неподвижной точке.^[1]

Интуитивное описание

Графическое представление теоремы Пуанкаре – Миранды для п = 2

На рисунке справа показана иллюстрация теоремы Пуанкаре – Миранды для п = 2 функции. Рассмотрим пару функций (ж,грамм) чей область определения это [-1,+1]² квадрат. Функция ж отрицательна на левой границе и положительна на правой границе (зеленые стороны квадрата), а функция грамм отрицательный на нижней границе и положительный на верхней границе (красные стороны квадрата). Когда мы идем слева направо любой пути, мы должны пройти через точку, в которой ж является 0. Следовательно, должна быть «стена», отделяющая левую от правой, по которой ж является 0 (зеленая кривая внутри квадрата). Точно так же должна быть «стена», отделяющая верх от низа, по которой грамм является 0 (красная кривая внутри квадрата). Эти стены должны пересекаться в точке, в которой выполняются обе функции. 0 (синяя точка внутри квадрата).

Обобщения

Простейшее обобщение, по сути, следствие, этой теоремы является следующая. Для каждой переменной Икс_я, позволять а_я быть любым значением в диапазоне[Как дела_{Икся = 0} ж_я, инф_{Икся = 1} ж_я]Тогда в единичном кубе есть точка, в которой для всех я:

${ displaystyle f_ {i} = a_ {i}}$.

Это утверждение можно свести к исходному простым перевод осей,

${ displaystyle x_ {i} ^ { prime} = x_ {i} qquad y_ {i} ^ { prime} = y_ {i} -a_ {i} qquad forall i in {1, точки, n }}$

куда

• Икс_я являются координаты в области определения функции
• у_я координаты в codomain функции

Примечания

Рекомендации

• Дугунджи, Джеймс; Гранас, Анджей (2003), Теория фиксированной точки, Springer Monographs in Mathematics, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xv + 690, ISBN  0-387-00173-5, МИСТЕР  1987179, Zbl  1025.47002
• Кульпа, Владислав (июнь 1997 г.), "Теорема Пуанкаре-Миранды", Американский математический ежемесячник, 104 (6): 545–550, Дои:10.2307/2975081, JSTOR  2975081, МИСТЕР  1453657, Zbl  0891.47040.
• Миранда, Карло (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Серия 2 (на итальянском языке), 3: 5–7, JFM  66.0217.01, МИСТЕР  0004775, Zbl  0024.02203.

внешняя ссылка

• Альбах, Коннор Томас (2013). «Дискретный подход к теореме Пуанкаре – Миранды (старшие тезисы HMC)». Получено 18 мая 2015.