Полиадическое пространство - Polyadic space

В математике полиадическое пространство это топологическое пространство это изображение под непрерывная функция из топологическая мощность из Одноточечная компактификация Александрова дискретного топологического пространства.

История

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в ​​1970 г. как обобщение диадические пространства.^[1] Теория была развита Р. Х. Марти, Яношом Герлитсом и Мюрреем Г. Беллом,^[2] последний из которых ввел понятие более общего центрированные пространства.^[1]

Фон

Подмножество K топологического пространства Икс как говорят компактный если каждый открытый крышка из K содержит конечное подпокрытие. Он называется локально компактным в точке Икс ∈ Икс если Икс лежит внутри некоторого компактного подмножества Икс. Икс это локально компактное пространство если он локально компактен в каждой точке пространства.^[3]

Правильное подмножество А ⊂ Икс как говорят плотный если закрытие Ā = Икс. Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется отделяемое пространство.

Для некомпактного локально компактного хаусдорфова топологического пространства ${ Displaystyle (Х, тау _ {X})}$, определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством ${ displaystyle left { omega right } чашка X}$, обозначенный ${ displaystyle omega X}$, куда ${ displaystyle omega notin X}$, с топологией ${ displaystyle tau _ { omega X}}$ определяется следующим образом:^[2][4]

• ${ displaystyle tau _ {X} substeq tau _ { omega X}}$
• ${ displaystyle X setminus C cup left { omega right } in tau _ { omega X}}$, для каждого компактного подмножества ${ Displaystyle C substeq X}$.

Определение

Позволять ${ displaystyle X}$ - дискретное топологическое пространство, и пусть ${ displaystyle omega X}$ - Александровская одноточечная компактификация ${ displaystyle X}$. Хаусдорфово пространство ${ displaystyle P}$ полиадичен, если для некоторых количественное числительное ${ displaystyle lambda}$, существует непрерывная сюръективная функция ${ displaystyle f: omega X ^ { lambda} rightarrow P}$, куда ${ displaystyle omega X ^ { lambda}}$ это пространство продукта, полученное умножением ${ displaystyle omega X}$ с собой ${ displaystyle lambda}$ раз.^[5]

Примеры

Возьмите набор натуральных чисел ${ Displaystyle mathbb {Z} +}$ с дискретной топологией. Его Александровская одноточечная компактификация ${ Displaystyle omega mathbb {Z} +}$. выбирать ${ displaystyle lambda = 1}$ и определим гомеоморфизм ${ displaystyle h: omega mathbb {Z} + rightarrow left [0,1 right]}$ с отображением

${ displaystyle h (x) = { begin {cases} 1 / x, & { text {if}} x in mathbb {Z} + 0, & { text {if}} x = омега end {case}}}$

Из определения следует, что пространство ${ Displaystyle left {0 right } чашка bigcup _ {п in mathbb {N}} left {1 / n right }}$ является полиадическим и компактным непосредственно из определения компактности, без использования Гейне-Бореля.

Каждое диадическое пространство (компактное пространство, которое является непрерывным образом канторова множества^[6]) - полиадическое пространство.^[7]

Позволять Икс быть отделимым компактным пространством. Если Икс это метризуемое пространство, то он полиадический (верно и обратное).^[2]

Характеристики

Клеточность ${ displaystyle c (X)}$ пространства ${ displaystyle X}$ является ${ displaystyle sup left { vert B vert: B { text {- непересекающийся набор открытых множеств}} X right }}$. Герметичность ${ displaystyle t (X)}$ пространства ${ displaystyle X}$ определяется следующим образом: пусть ${ Displaystyle A подмножество X}$, и ${ displaystyle p in { bar {A}}}$. Мы определяем ${ displaystyle a (p, A): = min left { vert B vert: p in { bar {B}}, B subset A right }}$, и определим ${ displaystyle t (p, X): = sup left {a (p, A): A subset X, p in { bar {A}} right }}$. потом ${ Displaystyle t (X): = sup left {t (p, X): p in X right }.}$^[8] В топологический вес ${ Displaystyle ш (Х)}$ полиадического пространства ${ displaystyle X}$ удовлетворяет равенству ${ Displaystyle ш (Х) = с (Х) CDOT т (Х)}$.^[9]

Позволять ${ displaystyle X}$ - полиадическое пространство, и пусть ${ Displaystyle A подмножество X}$. Тогда существует полиадическое пространство ${ Displaystyle P подмножество X}$ такой, что ${ Displaystyle A подмножество P}$ и ${ Displaystyle с (Р) Leq с (А)}$.^[9]

Полиадические пространства - это наименьший класс топологических пространств, содержащих метрические компактные пространства и замкнутых относительно произведений и непрерывных образов.^[10] Каждое полиадическое пространство ${ displaystyle X}$ веса ${ displaystyle leq 2 ^ { omega}}$ это непрерывный образ ${ Displaystyle mathbb {Z} +}$.^[10]

Топологическое пространство Икс имеет Суслин недвижимость если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств X.^[11] Предположим, что Икс обладает свойством Суслина и Икс полиадический. потом Икс диадический.^[12]

Позволять ${ displaystyle dis (X)}$ быть наименьшим количеством дискретных наборов, необходимых для покрытия ${ displaystyle X}$, и разреши ${ Displaystyle Delta (X)}$ обозначим наименьшую мощность непустого открытого множества в ${ displaystyle X}$. Если ${ displaystyle X}$ полиадическое пространство, то ${ Displaystyle дис (X) geq Delta (X)}$.^[9]

Теорема Рамсея

Есть аналог Теорема Рамсея из комбинаторики полиадических пространств. Для этого опишем взаимосвязь между Булевы пространства и полиадические пространства. Позволять ${ Displaystyle CO (X)}$ обозначить прищемить алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств ${ displaystyle X}$. Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базис которого ${ Displaystyle CO (X)}$. Элемент ${ Displaystyle G в CO (X) '}$ такой, что ${ Displaystyle langle langle G rangle rangle = CO (X)}$ называется генераторной установкой для ${ Displaystyle CO (X)}$. Мы говорим ${ displaystyle G}$ это ${ Displaystyle ( тау, каппа)}$-связанная коллекция, если ${ displaystyle G}$ это объединение не более чем ${ Displaystyle тау}$ подколлекции ${ displaystyle G _ { alpha}}$, где для каждого ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle G _ { alpha}}$ является непересекающимся набором мощности не более ${ displaystyle kappa}$ Петр Симон доказал, что ${ displaystyle X}$ - булево пространство с порождающим множеством ${ displaystyle G}$ из ${ Displaystyle CO (X)}$ существование ${ Displaystyle ( тау, каппа)}$-без пересечения тогда и только тогда, когда ${ displaystyle X}$ гомеоморфно замкнутому подпространству в ${ Displaystyle альфа каппа ^ { тау}}$.^[8] Рэмси-подобное свойство для полиадических пространств, как было заявлено Мюрреем Беллом для булевых пространств, имеет следующий вид: каждая несчетная коллекция clopen содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается.^[13]

Компактность

Мы определяем число компактности пространства ${ displaystyle X}$, обозначаемый ${ displaystyle operatorname {cmpn} , X}$, чтобы быть наименьшим числом ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle X}$ имеет n-арный закрытый подоснование. Мы можем строить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это с помощью двух теорем, доказанных Мюрреем Беллом в 1985 г. Пусть ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть набором множеств и пусть ${ displaystyle S}$ быть набором. Обозначим множество ${ displaystyle { bigcap { mathcal {F}}: { mathcal {F}} { text {- конечное подмножество}} { mathcal {S}} }}$ к ${ Displaystyle { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$; все подмножества ${ displaystyle S}$ размера ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle [S] ^ {п}}$; и все подмножества размера не более ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle [S] ^ {<= п}}$. Если ${ Displaystyle 2 Leq п < омега}$ и ${ Displaystyle bigcap { mathcal {F}} neq emptyset}$ для всех ${ displaystyle { mathcal {F}} in [{ mathcal {S}}] ^ {n}}$, то мы говорим, что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ n-связанный. Если каждое n-связанное подмножество ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ имеет непустое пересечение, то мы говорим, что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ н-арный. Обратите внимание, что если ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ n-арный, значит, тоже ${ Displaystyle { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$, и поэтому каждое пространство ${ displaystyle X}$ с ${ displaystyle operatorname {cmpn} , X leq n}$ имеет закрытую n-арную подбазу ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ с ${ Displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$. Обратите внимание, что коллекция ${ Displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$ замкнутых подмножеств компактного пространства ${ displaystyle X}$ является закрытой подбазой тогда и только тогда, когда для каждого закрытого ${ displaystyle K}$ в открытом наборе ${ displaystyle U}$существует конечная ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ такой, что ${ Displaystyle { mathcal {F}} subset { mathcal {S}}}$ и ${ Displaystyle К подмножество bigcup { mathcal {F}} подмножество U}$.^[14]

Позволять ${ displaystyle S}$ бесконечное множество и пусть ${ displaystyle n}$ на такое число, что ${ Displaystyle 1 Leq п < омега}$. Мы определяем топология продукта на ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ следующим образом: для ${ displaystyle s in S}$, позволять ${ Displaystyle s ^ {-} = {F in [S] ^ { leq n}: s in F }}$, и разреши ${ Displaystyle s ^ {+} = {F in [S] ^ { leq n}: s notin F }}$. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть коллекцией ${ Displaystyle { mathcal {S}} = bigcup _ {s in S} {s ^ {+}, s ^ ​​{-} }}$. Мы принимаем ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ в качестве закрытой подбазы для нашей топологии на ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$. Эта топология компактна и хаусдорфова. За ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle n}$ такой, что ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$у нас есть это ${ displaystyle [S] ^ {k}}$ является дискретным подпространством ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$, а значит, ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ это союз ${ displaystyle n + 1}$ дискретные подпространства.^[14]

Теорема (Верхняя граница ${ Displaystyle OperatorName {cmpn} , [S] ^ { Leq n}}$): Для каждого общий заказ ${ displaystyle <}$ на ${ displaystyle S}$, существует ${ displaystyle n + 1}$-арная закрытая база ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ из ${ Displaystyle [S] ^ { leq 2n}}$.

Доказательство: За ${ displaystyle s in S}$, определять ${ Displaystyle L_ {s} = {F in s ^ {+}: | {t in F: t$ и ${ Displaystyle R_ {s} = {F in s ^ {+}: | {t in F: t> s } | Leq n-1 }}$. Набор ${ displaystyle { mathcal {R}} = bigcup _ {s in S} {L_ {s}, R_ {s}, s ^ ​​{+} }}$. За ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ такой, что ${ Displaystyle A чашка B чашка C neq emptyset}$, позволять ${ displaystyle { mathcal {F}} = {L_ {s}: s in A } cup {R_ {s}: s in B } cup {s ^ {-}: s in C }}$ такой, что ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является ${ displaystyle n + 1}$-связанное подмножество ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$. Покажи это ${ Displaystyle A чашка B in bigcap { mathcal {F}}}$. ${ displaystyle blacksquare}$

Для топологического пространства ${ displaystyle X}$ и подпространство ${ displaystyle A in X}$, мы говорим, что непрерывная функция ${ displaystyle r: X rightarrow A}$ это втягивание если ${ displaystyle r | _ {A}}$ тождественная карта на ${ displaystyle A}$. Мы говорим что ${ displaystyle A}$ это отказ от ${ displaystyle X}$. Если существует открытый набор ${ displaystyle U}$ такой, что ${ Displaystyle A подмножество U подмножество X}$, и ${ displaystyle A}$ это отказ от ${ displaystyle U}$, то мы говорим, что ${ displaystyle A}$ это соседский ретракт ${ displaystyle X}$.

Теорема (Нижняя граница ${ Displaystyle OperatorName {cmpn} , [S] ^ { Leq n}}$) Позволять ${ displaystyle n}$ быть таким, чтобы ${ Displaystyle 2 Leq п < омега}$. потом ${ Displaystyle [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1}}$ не может быть встроен как соседний ретракт в любое пространство ${ displaystyle K}$ с ${ displaystyle operatorname {cmpn} , K leq n}$.

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для ${ displaystyle n}$ такой, что ${ Displaystyle 1 Leq п < омега}$у нас есть это ${ displaystyle operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1} = n + 1 = operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n}}$.

Позволять ${ displaystyle A}$ - одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства ${ displaystyle S}$, так что ${ Displaystyle А = S чашка { infty }}$. Определим непрерывную сюръекцию ${ displaystyle g: A ^ {n} rightarrow [S] ^ { leq n}}$ к ${ displaystyle g ((x_ {1}, ..., x_ {n})) = {x_ {1}, ldots, x_ {n} } cap S}$. Следует, что ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ - полиадическое пространство. Следовательно ${ Displaystyle [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1}}$ - полиадическое пространство с числом компактности ${ displaystyle operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1} = n + 1}$.^[14]

Обобщения

Центрированные пространства, AD-компактные пространства^[15] и ξ-адические пространства^[16] являются обобщениями полиадических пространств.

Центрированное пространство

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть набором наборов. Мы говорим что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ центрируется, если ${ Displaystyle bigcap { mathcal {F}} neq emptyset}$ для всех конечных подмножеств ${ Displaystyle { mathcal {F}} substeq { mathcal {S}}}$.^[17] Определите логическое пространство ${ displaystyle Cen ({ mathcal {S}}) = { chi _ {T}: T { text {- центрированная подколлекция}} { mathcal {S}} }}$, с топологией подпространства из ${ Displaystyle 2 ^ { mathcal {S}}}$. Мы говорим, что пространство ${ displaystyle X}$ является центрированным пространством, если существует коллекция ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ такой, что ${ displaystyle X}$ это непрерывный образ ${ displaystyle Cen ({ mathcal {S}})}$.^[18]

Центрированные пространства были введены Мюрреем Беллом в 2004 году.

AD-компактное пространство

Позволять ${ displaystyle X}$ - непустое множество, и рассмотрим семейство его подмножеств ${ Displaystyle { mathcal {A}} substeq { mathcal {P}} (X)}$. Мы говорим что ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является адекватной семьей, если:

• ${ displaystyle A in { mathcal {A}} land B substeq { mathcal {A}} Rightarrow B in { mathcal {A}}}$
• данный ${ Displaystyle A substeq X}$, если каждое конечное подмножество ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, тогда ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$.

Мы можем лечить ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ как топологическое пространство, рассматривая его как подмножество Куб Кантора ${ displaystyle D ^ {X}}$, и в данном случае обозначим его ${ Displaystyle К ({ mathcal {A}})}$.

Позволять ${ displaystyle K}$ быть компактным пространством. Если существует набор ${ displaystyle X}$ и адекватная семья ${ Displaystyle { mathcal {A}} substeq { mathcal {P}} (X)}$, так что ${ displaystyle K}$ это непрерывный образ ${ Displaystyle К ({ mathcal {A}})}$, то мы говорим, что ${ displaystyle K}$ является AD-компактным пространством.

AD-компактные пространства были введены Гжегожем Плебанеком. Он доказал, что они замкнуты относительно произвольных произведений и компактификаций Александрова непересекающиеся союзы. Отсюда следует, что каждое полиадическое пространство является AD-компактным пространством. Обратное неверно, поскольку существуют AD-компактные пространства, которые не являются полиадическими.^[15]

ξ-адическое пространство

Позволять ${ displaystyle kappa}$ и ${ Displaystyle тау}$ быть кардиналами, и пусть ${ displaystyle X}$ - хаусдорфово пространство. Если существует непрерывная сюръекция из ${ Displaystyle ( каппа +1) ^ { тау}}$ к ${ displaystyle X}$, тогда ${ displaystyle X}$ называется ξ-адическим пространством.^[16]

ξ-адические пространства были предложены С. Мрувкой, а следующие результаты о них были даны Яношом Герлицем (они также применимы к полиадическим пространствам, поскольку они являются частным случаем ξ-адических пространств).^[19]

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ - бесконечный кардинал, и пусть ${ displaystyle X}$ быть топологическим пространством. Мы говорим что ${ displaystyle X}$ имеет свойство ${ displaystyle mathbf {B} ({ mathfrak {n}})}$ если для любой семьи ${ displaystyle {G _ { alpha}: alpha in A }}$ непустых открытых подмножеств ${ displaystyle X}$, куда ${ displaystyle | A | = { mathfrak {n}}}$, мы можем найти набор ${ displaystyle B subset A}$ и точка ${ displaystyle p in X}$ такой, что ${ displaystyle | B | = { mathfrak {n}}}$ и для каждого района ${ displaystyle N}$ из ${ displaystyle p}$у нас есть это ${ displaystyle | { beta in B: N cap G _ { beta} = emptyset } | <{ mathfrak {n}}}$.

Если ${ displaystyle X}$ является ξ-адическим пространством, то ${ displaystyle X}$ имеет свойство ${ displaystyle mathbf {B} ({ mathfrak {n}})}$ для каждого бесконечного кардинала ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$. Из этого результата следует, что никакое бесконечное ξ-адическое хаусдорфово пространство не может быть экстремально отключенное пространство.^[19]

Гиадическое пространство

Гиадические пространства были введены Эрик ван Доувен.^[20] Они определяются следующим образом.

Позволять ${ displaystyle X}$ - хаусдорфово пространство. Обозначим через ${ Displaystyle H (X)}$ гиперпространство ${ displaystyle X}$. Определим подпространство ${ displaystyle J_ {2} (X)}$ из ${ Displaystyle H (X)}$ к ${ Displaystyle {F в H (X): | F | Leq 2 }}$. База ${ Displaystyle H (X)}$ семейство всех множеств вида ${ displaystyle langle U_ {0}, dots, U_ {n} rangle = {F in H (X): F substeq U_ {0} cup dots cup U_ {n}, F cap U_ {i} neq emptyset { text {for}} 0 leq i leq n }}$, куда ${ displaystyle n}$ любое целое число, и ${ displaystyle U_ {i}}$ открыты в ${ displaystyle X}$. Если ${ displaystyle X}$ компактно, то мы называем хаусдорфово пространство ${ displaystyle Y}$ является гиадической, если существует непрерывная сюръекция из ${ Displaystyle H (X)}$ к ${ displaystyle Y}$.^[21]

Полиадические пространства - гиадические.^[22]

Смотрите также

• Диадическое пространство
• Eberlein compactum
• Каменное пространство
• Каменно-чешская компактификация
• Сверхкомпактное пространство

Рекомендации

1. ^ ^{а б} Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2003). «Диадическая компактность». Энциклопедия общей топологии. Elsevier Science. п.193. ISBN  978-0444503558.
2. ^ ^{а б c} Аль-Махруки, Шарифа (2013). Компактные топологические пространства, вдохновленные комбинаторными конструкциями (Тезис). Университет Восточной Англии. С. 8–13.
3. ^ Мёллер, Джеспер М. (2014). «Топологические пространства и непрерывные отображения». Общая топология. п. 58. ISBN  9781502795878.
4. ^ Ткачук, Владимир В. (2011). «Основные понятия топологии и функциональных пространств». Сборник задач Cp-теории: топологические и функциональные пространства. Springer Science + Business Media. п.35. ISBN  9781441974426.
5. ^ Турзанский, Мариан (1996). Кубы Кантора: Цепные условия. Wydawnictwo Uniwersytetu ląskiego. п. 19. ISBN  978-8322607312.
6. ^ Нагата, Джун-Ити (1985-11-15). «Темы, связанные с отображениями». Современная общая топология. п.298. ISBN  978-0444876553.
7. ^ Дикранджан, Дикран; Сальсе, Луиджи (1998). Абелевы группы, теория модулей и топология. CRC Press. п. 339. ISBN  9780824719371.
8. ^ ^{а б} Белл, Мюррей (2005). «Плотность в полиадических пространствах» (PDF). Топология Труды. Обернский университет. 25: 2–74.
9. ^ ^{а б c} Спадаро, Санти (22 мая 2009 г.). «Примечание о дискретных наборах». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae. 50 (3): 463–475. arXiv:0905.3588.
10. ^ ^{а б} Кошмидер, Петр (2012). «Универсальные объекты и ассоциации между классами банаховых пространств и классами компактных пространств». arXiv:1209.4294 [math.FA ]. Cite имеет пустой неизвестный параметр: |1= (помощь)
11. ^ «Комплексный экзамен по топологии» (PDF). Университет Огайо. 2005. Архивировано с оригинал (PDF) на 2015-02-14. Получено 2015-02-14.
12. ^ Турзанский, Мариан (1989). «Об обобщениях диадических пространств». Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика. 30 (2): 154. ISSN  0001-7140.
13. ^ Белл, Мюррей (1996-01-11). "Теорема Рамсея для полиадических пространств". Университет Теннесси в Мартине. Получено 2015-02-14.
14. ^ ^{а б c} Белл, Мюррей (1985). «Полиадические пространства произвольных чисел компактности». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae. Карлов университет в Праге. 26 (2): 353–361. Получено 2015-02-27.
15. ^ ^{а б} Плебанек, Гжегож (1995-08-25). «Компактные пространства, возникающие из адекватных семейств множеств». Топология и ее приложения. Эльзевир. 65 (3): 257–270. Дои:10.1016/0166-8641(95)00006-3.
16. ^ ^{а б} Белл, Мюррей (1998). «О характере и состоянии цепочки в изображениях товаров» (PDF). Fundamenta Mathematicae. Польская Академия Наук. 158 (1): 41–49.
17. ^ Белл, Мюррей. «Обобщенные диадические пространства» (PDF): 47–58. В архиве (PDF) из оригинала 2011-06-08. Получено 2014-02-27. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
18. ^ Белл, Мюррей (2004). «Функциональные пространства на τ-компактах Корсона и герметичность полиадических пространств». Чехословацкий математический журнал. 54 (4): 899–914. Дои:10.1007 / s10587-004-6439-z.
19. ^ ^{а б} Герлиц, Янош (1971). Новак, Йозеф (ред.). «О м-адических пространствах». Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй, Труды Третьего Пражского топологического симпозиума. Прага: Издательство Academia Чехословацкой Академии наук: 147–148.
20. ^ Белл, Мюррей (1988). «Gₖ подпространства гиадических пространств» (PDF). Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 104 (2): 635–640. Дои:10.2307/2047025. JSTOR  2047025.
21. ^ ван Доувен, Эрик К. (1990). «Отображения из гиперпространств и сходящиеся последовательности». Топология и ее приложения. Эльзевир. 34 (1): 35–45. Дои:10.1016 / 0166-8641 (90) 90087-я.
22. ^ Банах, Тарас (2003). «О кардинальных инвариантах и ​​метризуемости топологических обратных полугрупп Клиффорда». Топология и ее приложения. Эльзевир. 128 (1): 38. Дои:10.1016 / S0166-8641 (02) 00083-4.