Полиномиальные решения P-рекурсивных уравнений - Polynomial solutions of P-recursive equations

В математике P-рекурсивное уравнение можно решить для полиномиальные решения. Сергей А. Абрамов в 1989 г. и Марко Петковшек в 1992 г. описал алгоритм который находит все многочлен решения этих рекуррентных уравнений с полиномиальными коэффициентами.^[1][2] Алгоритм вычисляет граница степени для решения на первом этапе. На втором этапе анзац для полинома этой степени используется, а неизвестные коэффициенты вычисляются система линейных уравнений. Эта статья описывает этот алгоритм.

В 1995 году Абрамов, Бронштейн и Петковшек показали, что полиномиальный случай может быть решен более эффективно, если рассмотреть степенной ряд решение рекуррентного уравнения в конкретном степенном базисе (т.е. не в обычном базисе ${ textstyle (х ^ {п}) _ {п in mathbb {N}}}$).^[3]

Другие алгоритмы, которые вычисляют рациональный или гипергеометрический решения линейного рекуррентного уравнения с полиномиальными коэффициентами также используют алгоритмы, которые вычисляют полиномиальные решения.

Градус

Позволять ${ textstyle mathbb {K}}$ быть поле нулевой характеристики и ${ textstyle sum _ {к = 0} ^ {r} p_ {k} (n) , y (n + k) = f (n)}$ а рекуррентное уравнение порядка ${ textstyle r}$ с полиномиальными коэффициентами ${ textstyle p_ {k} in mathbb {K} [n]}$, полиномиальная правая часть ${ textstyle f in mathbb {K} [n]}$ и неизвестная полиномиальная последовательность ${ Displaystyle у (п) в mathbb {K} [п]}$. более того ${ textstyle deg (p)}$ обозначает степень полинома ${ textstyle p in mathbb {K} [n]}$ (с участием ${ textstyle deg (0) = - infty}$ для нулевого многочлена) и ${ textstyle { text {lc}} (p)}$ обозначает старший коэффициент полинома. Кроме того, пусть

за ${ textstyle я = 0, точки, г}$ где ${ textstyle п ^ { подчеркивание {я}} = п (п-1) cdots (п-я + 1)}$ обозначает падающий факториал и ${ textstyle mathbb {N}}$ набор неотрицательных целых чисел. потом ${ textstyle deg (y) leq max { deg (f) -b, -b-1, d _ { alpha} }}$. Это называется степенью полиномиального решения ${ textstyle y}$. Эту границу показали Абрамов и Петковшек.^[1][2][3][4]

Алгоритм

Алгоритм состоит из двух шагов. На первом этапе граница степени вычисляется. На втором этапе анзац с полиномом ${ textstyle y}$ этой степени с произвольными коэффициентами в ${ textstyle mathbb {K}}$ составлен и включен в рекуррентное уравнение. Затем сравниваются разные степени и составляется система линейных уравнений для коэффициентов при ${ textstyle y}$ настроен и решен. Это называется метод неопределенных коэффициентов.^[5] Алгоритм возвращает общее полиномиальное решение рекуррентного уравнения.

алгоритм polynomial_solutions является    Вход: Линейное рекуррентное уравнение ${ textstyle  sum _ {k = 0} ^ {r} p_ {k} (n) , y (n + k) = f (n), p_ {k}, f  in  mathbb {K} [ n], p_ {0}, p_ {r}  neq 0}$.    выход: Общее полиномиальное решение ${ textstyle y}$ если есть какие-то решения, иначе ложь. за ${ textstyle я = 0,  точки, г}$ делать        ${ textstyle q_ {i} =  sum _ {k = i} ^ {r} { binom {k} {i}} p_ {k}}$    повторение    ${ textstyle b =  max _ {i = 0,  dots, r} ( deg (q_ {i}) - i)}$    ${ textstyle  alpha (n) =  sum _ {i = 0,  dots, r  attop  deg (q_ {i}) - i = b} { text {lc}} (q_ {i}) n ^ { underline {i}}}$    ${ textstyle d _ { alpha} =  max  {n  in  mathbb {N} ,: ,  alpha (n) = 0 }  чашка  {-  infty }}$    ${ textstyle d =  max  { deg (f) -b, -b-1, d _ { alpha} }}$    ${ textstyle y (n) =  sum _ {j = 0} ^ {d} y_ {j} n ^ {j}}$ с неизвестными коэффициентами ${ textstyle y_ {j}  in  mathbb {K}}$ за ${ textstyle j = 0,  dots, d}$    Сравните коэффициенты многочленов ${ textstyle  sum _ {к = 0} ^ {r} p_ {k} (n) , y (n + k)}$ и ${ textstyle f (n)}$ чтобы получить возможные значения для ${ textstyle y_ {j}, j = 0,  dots, d}$    если есть возможные значения для ${ textstyle y_ {j}}$ тогда        вернуть общее решение ${ textstyle y}$    еще        вернуть ложный конец, если

пример

Применяя формулу для оценки степени рекуррентного уравнения

над ${ textstyle mathbb {Q}}$ дает ${ textstyle deg (y) leq 2}$. Следовательно, можно использовать анзац с квадратичным многочленом ${ textstyle y (n) = y_ {2} n ^ {2} + y_ {1} n + y_ {0}}$ с ${ textstyle y_ {0}, y_ {1}, y_ {2} in mathbb {Q}}$. Подстановка этого анзаца в исходное рекуррентное уравнение приводит кЭто эквивалентно следующей системе линейных уравненийс решением ${ textstyle y_ {0} = 0, y_ {1} = - 1, y_ {2} = 1}$. Следовательно, единственным полиномиальным решением является ${ textstyle y (n) = n ^ {2} -n}$.

использованная литература