Предварительная мера - Википедия - Pre-measure

В математика, а предварительная мера это функция это в некотором смысле предшественник добросовестный мера на заданном пространстве. В самом деле, одна из фундаментальных теорем теории меры утверждает, что предварительная мера может быть расширена до меры.

Определение

Позволять р быть кольцо подмножеств (закрыто союз и относительное дополнение ) фиксированного набора Икс и разреши μ₀: р → [0, + ∞] - заданная функция. μ₀ называется предварительная мера если

${ Displaystyle му _ {0} ( emptyset) = 0}$

и для каждого счетная (или конечная) последовательность {А_п}_п∈N ⊆ р из попарно непересекающиеся множества, объединение которых лежит в р,

${ displaystyle mu _ {0} left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu _ { 0} (A_ {n})}$.

Второе свойство называется σ-аддитивность.

Таким образом, для того, чтобы предварительная мера была мерой, не хватает того, что она не обязательно определяется на сигма-алгебра (или сигма-кольцо).

Теорема Каратеодори о продолжении

Оказывается, предварительные меры вполне естественно приводят к внешние меры, которые определены для всех подмножеств пространства Икс. Точнее, если μ₀ - предварительная мера, определенная на кольце подмножеств р пространства Икс, то заданная функция μ^∗ определяется

${ displaystyle mu ^ {*} (S) = inf left { left. sum _ {i = 1} ^ { infty} mu _ {0} (A_ {i}) right | A_ {i} in R, S substeq bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i} right }}$

это внешняя мера на Икс и мера μ индуцированный μ^∗ на σ-алгебре Σ измеримых по Каратеодори множеств удовлетворяет ${ Displaystyle му (А) = му _ {0} (А)}$ за ${ displaystyle A in R}$ (в частности, Σ включает р). Нижняя грань пустого множества принимается равной ${ displaystyle + infty}$.

(Обратите внимание, что есть некоторые вариации в терминологии, используемой в литературе. Например, Rogers (1998) использует термин «мера», где в данной статье используется термин «внешняя мера». Внешние меры, как правило, не являются мерами, поскольку они могут не быть σ-добавка.)

Смотрите также

• Теорема Хана-Колмогорова

Рекомендации

• Манро, М. Э. (1953). Введение в измерение и интеграцию. Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., стр. 310. МИСТЕР0053186
• Роджерс, К. А. (1998). Хаусдорфовы меры. Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 195. ISBN  0-521-62491-6. МИСТЕР1692618 (См. Раздел 1.2.)
• Фолланд, Г. Б. (1999). Реальный анализ. Чистая и прикладная математика (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр.30 –31. ISBN  0-471-31716-0.