Лемма о перекачке для контекстно-свободных языков - Pumping lemma for context-free languages

В Информатика, в частности в формальная теория языка, то лемма о накачке для контекстно-свободных языков, также известный как Бар-Гилель[требуется разъяснение ] лемма, это лемма что дает собственность, разделяемую всеми контекстно-свободные языки и обобщает лемма о накачке для регулярных языков.

Лемму о накачке можно использовать для построения доказательство от противного что конкретный язык нет контекстно-свободный. Наоборот, леммы о накачке недостаточно, чтобы гарантировать, что язык является контекстно-свободный; есть другие необходимые условия, такие как Лемма Огдена, или Лемма об обмене.

Официальное заявление

Идея доказательства: если достаточно длинный, его дерево происхождения w.r.t. а Нормальная форма Хомского грамматика должна содержать некоторые нетерминальный дважды на некоторых путь к дереву (верхний рисунок). Повторение умножить на производную часть ⇒...⇒ получает вывод для (нижнее левое и правое изображение для и , соответственно).

Если язык не зависит от контекста, то существует некоторое целое число (называется «длина накачки»[1]) такой, что каждая строка в что есть длина из или более символов (т.е. с ) можно записать как

с подстроки и , так что

1. ,
2. , и
3. для всех .

Ниже приводится формальное выражение леммы о накачке.

Неофициальное заявление и объяснение

Лемма о подкачке для контекстно-свободных языков (называемая просто «леммой о подкачке» в оставшейся части этой статьи) описывает свойство, которое гарантированно имеет все контекстно-свободные языки.

Свойство - это свойство всех строк на языке, длина которых не менее , куда является константой, называемой длина откачки- это зависит от контекстно-свободных языков.

Сказать строка длиной не менее это на языке.

Лемма о накачке утверждает, что можно разбить на пять подстрок, , куда не пусто, а длина самое большее , так что повторение и такое же количество раз () в производит строку, которая все еще находится на языке. Часто бывает полезно повторить ноль раз, что удаляет и из строки. Этот процесс «подкачки» дополнительных копий и это то, что дало название лемме о накачке.

Конечные языки (которые являются регулярными и, следовательно, контекстно-свободными) подчиняются лемме о накачке тривиально, имея равна максимальной длине строки в плюс один. Поскольку струн такой длины нет, лемма о накачке не нарушается.

Использование леммы

Лемма о накачке часто используется для доказательства того, что данный язык L неконтекстно-бесконтекстно, показывая, что произвольно длинные строки s находятся в L которые нельзя «накачать», не производя струн снаружи L.

Например, язык можно показать, что он неконтекстно-независимый, используя лемму о накачке в доказательство от противного. Сначала предположим, что L контекстно-свободный. По лемме о накачке существует целое число п что является накачивающей длиной языка L. Рассмотрим строку в L. Лемма о накачке говорит нам, что s можно записать в виде , куда u, v, w, x, и y подстроки, такие что , , и для каждого целого числа . По выбору s и тот факт, что , легко видеть, что подстрока vwx может содержать не более двух различных символов. То есть у нас есть одна из пяти возможностей для vwx:

  1. для некоторых .
  2. для некоторых j и k с
  3. для некоторых .
  4. для некоторых j и k с .
  5. для некоторых .

В каждом случае легко проверить, что не содержит равных номеров каждой буквы для любого . Таким образом, не имеет формы . Это противоречит определению L. Поэтому наше первоначальное предположение, что L не зависит от контекста должно быть ложным.

Хотя лемма о перекачке часто является полезным инструментом для доказательства того, что данный язык не является контекстно-независимым, она не дает полной характеристики контекстно-свободных языков. Если язык не удовлетворяет условию, заданному леммой о накачке, мы установили, что он не является контекстно-независимым.

С другой стороны, есть языки, которые не являются контекстно-независимыми, но все же удовлетворяют условию, заданному леммой о накачке, например

за s=бjckdл например, с j≥1 выбрать vwx состоять только из бДля s=аябjcjdj выберите vwx состоять только из аS; в обоих случаях все накачанные струны все еще в L.[2]

Предшественник леммы о накачке был использован в 1960 году Шейнбергом для доказательства того, что не является контекстно-зависимым.[3]

Рекомендации

  1. ^ Берстель, Жан; Лаув, Аарон; Ройтенауэр, Кристоф; Салиола, Франко В. (2009). Комбинаторика слов. Кристоффель слова и повторы словами (PDF). Серия монографий CRM. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 90. ISBN  978-0-8218-4480-9. Zbl  1161.68043. (См. Также [www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/ веб-сайт Аарона Берштеля)
  2. ^ Джон Э. Хопкрофт, Джеффри Д. Ульман (1979). Введение в теорию автоматов, языки и вычисления. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02988-X. Здесь: раздел 6.1, с.129
  3. ^ Стивен Шейнберг (1960). «Замечание о булевых свойствах контекстно-свободных языков» (PDF). Информация и контроль. 3: 372–375. Дои:10.1016 / s0019-9958 (60) 90965-7. Здесь: лемма 3 и ее использование на стр.374-375.