Пифагорейская тригонометрическая идентичность - Pythagorean trigonometric identity

В Пифагорейская тригонометрическая идентичность, также называемый просто Пифагорейская идентичность, является личность выражая теорема Пифагора с точки зрения тригонометрические функции. Вместе с формулы суммы углов, это одно из основных соотношений между синус и косинус функции.

Личность

{ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1.}

По-прежнему, $грех 2 θ$ означает ${ textstyle ( грех тета) ^ {2}}$ .

Доказательства и их связь с теоремой Пифагора

Подобные прямоугольные треугольники показывают синус и косинус угла θ

Доказательство на основе прямоугольных треугольников

Любой похожие треугольники обладают тем свойством, что если мы выберем один и тот же угол во всех из них, соотношение двух сторон, определяющих угол, будет одинаковым независимо от того, какой подобный треугольник выбран, независимо от его фактического размера: отношения зависят от трех углов, а не длины сторон. Таким образом, для любого из подобных прямоугольных треугольников на рисунке отношение его горизонтальной стороны к его гипотенузе одинаково, а именно cos θ.

Элементарные определения функций синуса и косинуса в терминах сторон прямоугольного треугольника:

{ displaystyle sin theta = { frac { mathrm {напротив}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {b} {c}}}

{ displaystyle cos theta = { frac { mathrm {соседний}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {a} {c}}}

Пифагорейская идентичность следует возведением в квадрат обоих приведенных выше определений и сложением; то левая сторона личности тогда становится

{ displaystyle { frac { mathrm {напротив} ^ {2} + mathrm {смежный} ^ {2}} { mathrm {гипотенуза} ^ {2}}}}

который по теореме Пифагора равен 1. Это определение справедливо для всех углов в связи с определением определения ${ Displaystyle х = соз тета}$ и ${ Displaystyle у = грех тета}$ для единичной окружности и, таким образом, ${ Displaystyle х = с соз тета}$ и ${ Displaystyle у = с грех тета}$ для круга радиуса c и отражающего наш треугольник по оси y и устанавливая ${ Displaystyle а = х}$ и ${ displaystyle b = y}$ .

В качестве альтернативы личности, найденные в Тригонометрическая симметрия, сдвиги и периодичность могут быть использованы. Используя тождества периодичности, мы можем сказать, верна ли формула для −π < θ ≤ π тогда это правда для всего настоящего θ. Далее мы докажем диапазон π / 2 < θ ≤ π, для этого мы позволяем т = θ - π / 2, т теперь будет в диапазоне 0 < т ≤ π / 2. Затем мы можем использовать возведенные в квадрат версии некоторых основных тождеств сдвига (возведение в квадрат удобно удаляет знаки минус):

{ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = sin ^ {2} left (t + { frac {1} {2}} pi right) + cos ^ {2} left (t + { frac {1} {2}} pi right) = cos ^ {2} t + sin ^ {2} t = 1.}

Остается только доказать это для −π < θ < 0; это можно сделать, возведя в квадрат тождества симметрии, чтобы получить

{ displaystyle sin ^ {2} theta = sin ^ {2} (- theta) { text {and}} cos ^ {2} theta = cos ^ {2} (- theta) .}

Связанные личности

Подобные прямоугольные треугольники, иллюстрирующие касательную и секущую тригонометрические функции.

Личности

{ Displaystyle 1+ tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta}

и

{ displaystyle 1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta}

также называются тригонометрическими тождествами Пифагора.^[1] Если длина одного катета прямоугольного треугольника равна 1, то тангенс угла, примыкающего к этому катету, равен длине другого катета, а секущая угла - длине гипотенузы.

{ displaystyle tan theta = { frac {b} {a}} ,}

и:

{ displaystyle sec theta = { frac {c} {a}} .}

Таким образом, это тригонометрическое тождество касательной и секущей следует из теоремы Пифагора. Угол напротив катета длиной 1 (этот угол можно обозначить φ = π / 2 - θ) имеет котангенс, равный длине другого катета, и косеканс, равный длине гипотенузы. Таким образом, это тригонометрическое тождество, включающее котангенс и косеканс, также следует из теоремы Пифагора.

В следующей таблице приведены идентификаторы с фактором или делителем, который связывает их с основным идентификатором.

Оригинальная идентичность	Делитель	Уравнение делителя	Производная идентичность	Производная идентификация (альтернативная)
${ Displaystyle грех ^ {2} тета + соз ^ {2} тета = 1}$	${ Displaystyle соз ^ {2} theta}$	${ displaystyle { frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta}} + { frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta }} = { frac {1} { cos ^ {2} theta}}}$	${ Displaystyle tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta}$	${ Displaystyle tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta -1}$
${ Displaystyle грех ^ {2} тета + соз ^ {2} тета = 1}$	${ displaystyle sin ^ {2} theta}$	${ displaystyle { frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta}} + { frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta }} = { frac {1} { sin ^ {2} theta}}}$	${ displaystyle 1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta}$	${ displaystyle cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta -1}$

Доказательство с использованием единичного круга

Точка п(x, y) на окружности единичного радиуса в точке тупой угол θ> π / 2

Функция синуса на единичном круге (вверху) и ее график (внизу)

Единичный круг с центром в начале координат на евклидовой плоскости определяется уравнением:^[2]

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Для угла θ существует единственная точка п на единичной окружности под углом θ от Иксось, и Икс- и у-координаты п находятся:^[3]

{ Displaystyle х = соз тета mathrm {и} у = грех тета .}

Следовательно, из уравнения для единичной окружности:

{ Displaystyle соз ^ {2} тета + грех ^ {2} тета = 1 ,}

пифагорейская идентичность.

На рисунке точка п имеет отрицательный x-координата и соответственно задается Икс = cosθ, которое является отрицательным числом: cosθ = −cos (π−θ ). Точка п имеет положительный у-координировать и грешитьθ = sin (π−θ )> 0. При θ увеличивается от нуля до полного круга θ = 2π, синус и косинус меняют знаки в различных квадрантах, чтобы сохранить Икс и у с правильными знаками. На рисунке показано, как меняется знак синусоидальной функции при изменении квадранта угла.

Поскольку Икс- и у-оси перпендикулярны, это тождество Пифагора эквивалентно теореме Пифагора для треугольников с гипотенузой длины 1 (которая, в свою очередь, эквивалентна полной теореме Пифагора при применении аргумента о подобных треугольниках). Видеть единичный круг для краткого объяснения.

Доказательство с использованием степенного ряда

Тригонометрические функции также могут быть определены с помощью степенной ряд, а именно (для Икс угол, измеренный в радианы ):^[4]^[5]

{ displaystyle { begin {align} sin x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}, cos x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n} . end {выравнивается}}}

Используя формальный закон умножения для степенных рядов при Умножение и деление степенного ряда (соответствующим образом модифицированный для учета вида ряда здесь), получаем

{ displaystyle { begin {align} sin ^ {2} x & = sum _ {i = 0} ^ { infty} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-1 ) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {(-1) ^ {j}} {(2j + 1)!}} x ^ {(2i + 1) + (2j + 1 )} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n-1} { frac {(-1) ^ {n-1} } {(2i + 1)! (2 (ni-1) +1)!}} Right) x ^ {2n} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n-1} {2n choose 2i + 1} right) { frac {(-1) ^ {n-1}} {(2n)!}} x ^ {2n }, cos ^ {2} x & = sum _ {i = 0} ^ { infty} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i} } {(2i)!}} { Frac {(-1) ^ {j}} {(2j)!}} X ^ {(2i) + (2j)} & = sum _ {n = 0 } ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(-1) ^ {n}} {(2i)! (2 (ni))!}} right ) x ^ {2n} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} {2n choose 2i} right) { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}. End {выравнивается}}}

В выражении греха², п должно быть не меньше 1, а в выражении для cos², то постоянный срок равно 1. Остальные члены их суммы равны (без общих множителей)

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {2n select 2i} - sum _ {i = 0} ^ {n-1} {2n select 2i + 1} = sum _ {j = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {j} {2n choose j} = (1-1) ^ {2n} = 0}

посредством биномиальная теорема. Как следствие,

{ Displaystyle грех ^ {2} х + соз ^ {2} х = 1 ,}

что является тригонометрическим тождеством Пифагора.

Когда тригонометрические функции определены таким образом, тождество в сочетании с теоремой Пифагора показывает, что эти степенные ряды параметризовать единичный круг, который мы использовали в предыдущем разделе. Это определение строит функции синуса и косинуса строго и доказывает, что они дифференцируемы, так что фактически оно включает две предыдущие.

Доказательство с помощью дифференциального уравнения

Синус и косинус можно определить как два решения дифференциального уравнения:^[6]

{ displaystyle y '' + y = 0}

удовлетворение соответственно у(0) = 0, у′ (0) = 1 и у(0) = 1, у′ (0) = 0. Из теории обыкновенные дифференциальные уравнения что первое решение, синус, имеет второе, косинус, в качестве производной, и из этого следует, что производная косинуса является отрицательной величиной синуса. Тождество эквивалентно утверждению, что функция

{ Displaystyle г = грех ^ {2} х + соз ^ {2} х}

постоянна и равна 1. Дифференцируя с помощью Правило цепи дает:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} z = 2 sin x cos x + 2 cos x (- sin x) = 0 ,}

так z постоянна теорема о среднем значении. Расчет подтверждает, что z(0) = 1 и z это константа, поэтому z = 1 для всех Икс, так что пифагорейская идентичность установлена.

Аналогичное доказательство может быть выполнено с использованием степенных рядов, как указано выше, чтобы установить, что синус имеет производной косинус, а косинус - отрицательный синус. Фактически, определения обыкновенным дифференциальным уравнением и степенным рядом приводят к аналогичным выводам большинства тождеств.

Это доказательство тождества не имеет прямого отношения к доказательству Евклида теоремы Пифагора.

Смотрите также

Встроенные заметки и ссылки

^ Лоуренс С. Лефф (2005). Простой способ PreCalculus (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п.296. ISBN 0-7641-2892-2.
^ Этот результат можно найти с помощью формулы расстояния ${ displaystyle d = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ для расстояния от начала координат до точки ${ Displaystyle (х, у)}$ . Видеть Синтия Ю. Янг (2009). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Вайли. п. 210. ISBN 0-470-22273-5. Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто подставить значения и определить, что график представляет собой круг.
^ Томас В. Хангерфорд, Дуглас Дж. Шоу (2008). «§6.2 Функции синуса, косинуса и тангенса». Contemporary Precalculus: графический подход (5-е изд.). Cengage Learning. п. 442. ISBN 0-495-10833-2.
^ Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). «Силовой ряд». Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. п. 714. ISBN 0-691-04289-6.
^ Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3». Реальный анализ и основы (2-е изд.). CRC Press. С. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
^ Тын Мьинт У., Локенат Дебнат (2007). «Пример 8.12.1». Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. п. 316. ISBN 0-8176-4393-1.

внешняя ссылка

[Leff-1] Лоуренс С. Лефф (2005). Простой способ PreCalculus (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п.296. ISBN 0-7641-2892-2.

[circle-2] Этот результат можно найти с помощью формулы расстояния ${ displaystyle d = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ для расстояния от начала координат до точки ${ Displaystyle (х, у)}$ . Видеть Синтия Ю. Янг (2009). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Вайли. п. 210. ISBN 0-470-22273-5. Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто подставить значения и определить, что график представляет собой круг.

[Shaw-3] Томас В. Хангерфорд, Дуглас Дж. Шоу (2008). «§6.2 Функции синуса, косинуса и тангенса». Contemporary Precalculus: графический подход (5-е изд.). Cengage Learning. п. 442. ISBN 0-495-10833-2.

[Hamilton-4] Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). «Силовой ряд». Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. п. 714. ISBN 0-691-04289-6.

[Krantz-5] Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3». Реальный анализ и основы (2-е изд.). CRC Press. С. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.

[Debnath-6] Тын Мьинт У., Локенат Дебнат (2007). «Пример 8.12.1». Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. п. 316. ISBN 0-8176-4393-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]