Принцип ипподрома - Википедия - Racetrack principle

В исчисление, то принцип беговой дорожки описывает движение и рост двух функций с точки зрения их производные.

Этот принцип основан на том факте, что если лошадь по имени Фрэнк Флитфит всегда бежит быстрее, чем лошадь по имени Грег Гузелег, то если Фрэнк и Грег начинают гонку с одного и того же места и в одно и то же время, то Фрэнк выигрывает. Короче говоря, лошадь, которая быстро стартует и остается быстрой, побеждает.

В символах:

если ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> 0}$, и если ${ Displaystyle f (0) = г (0)}$, тогда ${ Displaystyle е (х)> г (х)}$ для всех ${ displaystyle x> 0}$.

или, замена ≥ на> дает теорему

если ${ displaystyle f '(x) geq g' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> 0}$, и если ${ Displaystyle f (0) = г (0)}$, тогда ${ Displaystyle е (х) geq g (х)}$ для всех ${ Displaystyle х geq 0}$.

что доказывается аналогично

Доказательство

Этот принцип можно проверить, рассмотрев функцию h (x) = f (x) - g (x). Если бы мы взяли производную, то заметили бы, что при x> 0

${ displaystyle h '= f'-g'> 0.}$

Также обратите внимание, что h (0) = 0. Объединяя эти наблюдения, мы можем использовать теорема о среднем значении на отрезке [0, x] и получим

${ displaystyle h '(x_ {0}) = { frac {h (x) -h (0)} {x-0}} = { frac {f (x) -g (x)} {x} }> 0.}$

По предположению, ${ displaystyle x> 0}$, поэтому умножая обе стороны на ${ displaystyle x}$ дает f (x) - g (x)> 0. Отсюда f (x)> g (x).

Обобщения

Утверждение принципа ипподрома можно немного обобщить следующим образом;

если ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$, и если ${ Displaystyle е (а) = г (а)}$, тогда ${ Displaystyle е (х)> г (х)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$.

как и выше, замена ≥ на> дает теорему

если ${ displaystyle f '(x) geq g' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$, и если ${ Displaystyle е (а) = г (а)}$, тогда ${ Displaystyle е (х) geq g (х)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$.

Доказательство

Это обобщение может быть доказано из принципа ипподрома следующим образом:

Рассмотрим функции ${ Displaystyle F_ {2} (х) = е (х-а)}$ и ${ Displaystyle г_ {2} (х) = г (х-а)}$.При условии ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$, и ${ Displaystyle е (а) = г (а)}$,

${ displaystyle f_ {2} '(x)> g_ {2}' (x)}$ для всех ${ displaystyle x> 0}$, и ${ displaystyle f_ {2} (0) = g_ {2} (0)}$, что согласно приведенному выше доказательству принципа ипподрома означает ${ displaystyle f_ {2} (x)> g_ {2} (x)}$ для всех ${ displaystyle x> 0}$ так ${ Displaystyle е (х)> г (х)}$ для всех ${ displaystyle x> a}$.

Заявление

Принцип ипподрома можно использовать, чтобы доказать лемма необходимо показать, что экспоненциальная функция растет быстрее, чем любая степенная функция. Требуемая лемма состоит в том, что

${ displaystyle e ^ {x}> x}$

для всех реальных x. Это очевидно для x <0, но принцип ипподрома требуется для x> 0. Чтобы увидеть, как он используется, мы рассмотрим функции

${ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}$

и

${ displaystyle g (x) = x + 1.}$

Обратите внимание, что f (0) = g (0) и что

${ displaystyle e ^ {x}> 1}$

потому что экспоненциальная функция всегда возрастает (монотонный ) так ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$. Таким образом, по принципу ипподрома f (x)> g (x). Таким образом,

${ displaystyle e ^ {x}> x + 1> x}$

для всех x> 0.

Рекомендации

• Дебора Хьюз-Халлет и др., Исчисление.