Функция радиального распределения - Radial distribution function

расчет

{displaystyle g (r)}

Функция радиального распределения для Модельная жидкость Леннарда-Джонса в

{displaystyle scriptstyle T ^ {*} = 0,71,; n ^ {*} = 0,844}

.

В статистическая механика, то функция радиального распределения, (или парная корреляционная функция) ${displaystyle g (r)}$ в системе частицы (атомы, молекулы, коллоиды и т. д.) описывает, как плотность изменяется в зависимости от расстояния от эталонной частицы.

Если данная частица находится в начале координат O, и если ${displaystyle ho = N / V}$ - средняя плотность частиц, то средняя по времени плотность на расстоянии ${displaystyle r}$ из O ${displaystyle ho g (r)}$ . Это упрощенное определение справедливо для однородный и изотропный система. Ниже будет рассмотрен более общий случай.

Проще говоря, это мера вероятности обнаружения частицы на расстоянии ${displaystyle r}$ вдали от заданной эталонной частицы по сравнению с идеальным газом. Общий алгоритм включает определение количества частиц на расстоянии ${displaystyle r}$ и ${displaystyle r + dr}$ вдали от частицы. Эта общая тема изображена справа, где красная частица - это наша эталонная частица, а синие частицы - это те, центры которых находятся внутри круглой оболочки, отмеченной оранжевыми точками.

Функция радиального распределения обычно определяется путем вычисления расстояния между всеми парами частиц и объединения их в гистограмму. Затем гистограмма нормализуется относительно идеального газа, где гистограммы частиц полностью некоррелированы. Для трех измерений эта нормализация представляет собой числовую плотность системы ${displaystyle (ho)}$ умноженное на объем сферической оболочки, что условно можно выразить как ${displaystyle ho, 4pi r ^ {2} dr}$ .

Учитывая потенциальная энергия функция радиального распределения может быть вычислена либо с помощью методов компьютерного моделирования, таких как Метод Монте-Карло, или через Уравнение Орнштейна-Цернике, используя аппроксимативные замыкающие соотношения, такие как Приближение Перкуса-Йевика или Теория гиперсетевых цепей. Его также можно определить экспериментально, с помощью методов рассеяния излучения или прямой визуализации достаточно крупных (микрометровых) частиц с помощью традиционной или конфокальной микроскопии.

Функция радиального распределения имеет фундаментальное значение, поскольку ее можно использовать, используя Теория решений Кирквуда – Баффа, чтобы связать микроскопические детали с макроскопическими свойствами. Более того, обращаясь к теории Кирквуда-Баффа, можно получить микроскопические детали радиальной функции распределения из макроскопических свойств.

Определение

Рассмотрим систему ${displaystyle N}$ частицы в объеме ${displaystyle V}$ (для средней плотности ${displaystyle ho = N / V}$ ) и при температуре ${displaystyle T}$ (определим также ${displaystyle extstyle eta = {frac {1} {kT}}}$ ). Координаты частицы: ${displaystyle mathbf {r} _ {i}}$ , с участием ${displaystyle extstyle i = 1,, ldots ,, N}$ . В потенциальная энергия за счет взаимодействия между частицами ${displaystyle extstyle U_ {N} (mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {N})}$ и мы не рассматриваем случай приложенного извне поля.

Соответствующий средние взяты в канонический ансамбль ${displaystyle (N, V, T)}$ , с участием ${displaystyle extstyle Z_ {N} = int cdots int mathrm {e} ^ {- eta U_ {N}} mathrm {d} mathbf {r} _ {1} cdots mathrm {d} mathbf {r} _ {N}}$ конфигурационный интеграл, взятый по всем возможным комбинациям положений частиц. Вероятность элементарной конфигурации, а именно нахождения частицы 1 в ${displaystyle extstyle mathrm {d} mathbf {r} _ {1}}$ , частица 2 в ${displaystyle extstyle mathrm {d} mathbf {r} _ {2}}$ и т. д. дается

{displaystyle P ^ {(N)} (mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}), mathrm {d} mathbf {r} _ {1} cdots mathrm {d} mathbf { r} _ {N} = {frac {mathrm {e} ^ {- eta U_ {N}}} {Z_ {N}}}, mathrm {d} mathbf {r} _ {1} cdots mathrm {d} mathbf {r} _ {N},}

.

(1)

Общее количество частиц огромно, так что ${displaystyle P ^ {(N)}}$ сам по себе не очень полезен. Однако можно также получить вероятность уменьшенной конфигурации, когда позиции только ${displaystyle n$ частицы фиксируются, в ${displaystyle extstyle mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {n}}$ , без ограничений на оставшиеся ${displaystyle N-n}$ частицы. Для этого нужно интегрировать (1) по остальным координатам ${displaystyle mathbf {r} _ {n + 1}, ldots ,, mathbf {r} _ {N}}$ :

{displaystyle P ^ {(n)} (mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {n}) = {frac {1} {Z_ {N}}} int cdots int mathrm {e} ^ {- eta U_ {N}}, mathrm {d} mathbf {r} _ {n + 1} cdots mathrm {d} mathbf {r} _ {N},}

.

Поскольку частицы идентичны, более уместно рассмотреть вероятность того, что любой ${displaystyle n}$ из них занимают должности ${displaystyle extstyle mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {n}}$ в любой перестановка, таким образом определяя ${displaystyle n}$ -плотность частиц

{displaystyle ho ^ {(n)} (mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {n}) = {frac {N!} {(Nn)!}} P ^ {(n) } (mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {n}),}

.

(2)

За ${displaystyle n = 1}$ , (2) дает одночастичную плотность, которая для кристалла является периодической функцией с резкими максимумами в узлах решетки. Для (однородной) жидкости он не зависит от положения ${displaystyle extstyle mathbf {r} _ {1}}$ и равной общей плотности системы:

{displaystyle {frac {1} {V}} int ho ^ {(1)} (mathbf {r} _ {1}), mathrm {d} mathbf {r} _ {1} = ho ^ {(1)} = {гидроразрыв {N} {V}} = хо,}

Пришло время ввести корреляционную функцию ${displaystyle g ^ {(n)}}$ к

{displaystyle ho ^ {(n)} (mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {n}) = ho ^ {n} g ^ {(n)} (mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {n}),}

.

(3)

${displaystyle g ^ {(n)}}$ называется корреляционной функцией, так как если атомы независимы друг от друга ${displaystyle ho ^ {(n)}}$ просто равно ${displaystyle ho ^ {n}}$ и поэтому ${displaystyle g ^ {(n)}}$ исправляет корреляцию между атомами.

Из (3) и (2) следует, что

{displaystyle g ^ {(n)} (mathbf {r} _ {1}, ldots ,, mathbf {r} _ {n}) = {frac {V ^ {n} N!} {N ^ {n} ( Nn)!}} Cdot {frac {1} {Z_ {N}}}, int cdots int mathrm {e} ^ {- eta U_ {N}}, mathrm {d} mathbf {r} _ {n + 1} cdots mathrm {d} mathbf {r} _ {N},}

.

(4)

Отношения с участием грамм(р)

Структурный фактор

Корреляционная функция второго порядка ${displaystyle g ^ {(2)} (mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2})}$ имеет особое значение, так как напрямую связано (через преобразование Фурье ) к структурный фактор системы и, таким образом, может быть определена экспериментально, используя дифракция рентгеновских лучей или нейтронография.^[1]

Если система состоит из сферически-симметричных частиц, ${displaystyle g ^ {(2)} (mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2})}$ зависит только от относительного расстояния между ними, ${displaystyle mathbf {r} _ {12} = mathbf {r} _ {2} -mathbf {r} _ {1}}$ . Мы опустим нижний и верхний индекс: ${displaystyle extstyle g (mathbf {r}) Equiv g ^ {(2)} (mathbf {r} _ {12})}$ . Принимая частицу 0 за фиксированную в начале координат, ${displaystyle extstyle ho g (mathbf {r}) d ^ {3} r = mathrm {d} n (mathbf {r})}$ это средний количество частиц (среди оставшихся ${displaystyle N-1}$ ) находиться в томе ${displaystyle extstyle d ^ {3} r}$ вокруг позиции ${displaystyle extstyle mathbf {r}}$ .

Мы можем формально подсчитать эти частицы и взять среднее с помощью выражения ${displaystyle extstyle {frac {mathrm {d} n (mathbf {r})} {d ^ {3} r}} = langle sum _ {ieq 0} delta (mathbf {r} -mathbf {r} _ {i} )угол }$ , с участием ${displaystyle extstyle langle cdot angle}$ среднее по ансамблю, дающее:

{displaystyle g (mathbf {r}) = {frac {1} {ho}} langle sum _ {ieq 0} delta (mathbf {r} -mathbf {r} _ {i}) angle = V {frac {N- 1} {N}} левый угол дельты (mathbf {r} -mathbf {r} _ {1}) ightangle}

(5)

где второе равенство требует эквивалентности частиц ${displaystyle extstyle 1,, ldots ,, N-1}$ . Приведенная выше формула полезна для соотнесения ${displaystyle g (mathbf {r})}$ к статическому структурному фактору ${displaystyle S (mathbf {q})}$ , определяется ${displaystyle extstyle S (mathbf {q}) = langle sum _ {ij} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} (mathbf {r} _ {i} -mathbf {r} _ {j})} angle / N}$ , поскольку у нас есть:

{displaystyle {egin {align} S (mathbf {q}) & = 1+ {frac {1} {N}} langle sum _ {ieq j} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} (mathbf {r} _ {i} -mathbf {r} _ {j})} angle = 1 + {frac {1} {N}} leftlangle int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {- imathbf {q} mathbf {r}} сумма _ {ieq j} левая дельта [mathbf {r} - (mathbf {r} _ {i} -mathbf {r} _ {j}) ight] ightangle & = 1+ {frac {N (N-1)} {N}} int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {- imathbf {q} mathbf {r}} дельта-левый угол (mathbf {r } -mathbf {r} _ {1}) конец прямоугольника {выровнено}}}

, и поэтому:

${displaystyle S (mathbf {q}) = 1 + ho int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {- imathbf {q} mathbf {r}} g (mathbf {r}) }$ , доказывая указанное выше соотношение Фурье.

Это уравнение справедливо только в смысле распределения, поскольку ${displaystyle g (mathbf {r})}$ не нормализуется: ${displaystyle extstyle lim _ {rightarrow infty} g (mathbf {r}) = 1}$ , так что ${displaystyle extstyle int _ {V} mathrm {d} mathbf {r} g (mathbf {r})}$ расходится как объем ${displaystyle V}$ , что приводит к пику Дирака в начале координат структурного фактора. Поскольку этот вклад недоступен экспериментально, мы можем вычесть его из приведенного выше уравнения и переопределить структурный фактор как регулярную функцию:

{displaystyle S '(mathbf {q}) = S (mathbf {q}) -ho delta (mathbf {q}) = 1 + ho int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {-imathbf {q} mathbf {r}} [g (mathbf {r}) -1]}

.

Наконец, мы переименовываем ${displaystyle S (mathbf {q}) Equiv S '(mathbf {q})}$ и, если система является жидкостью, мы можем ссылаться на ее изотропию:

{displaystyle S (q) = 1 + ho int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {- imathbf {q} mathbf {r}} [g (r) -1] = 1 + 4pi ho {гидроразрыв {1} {q}} int mathrm {d} r, r, mathrm {sin} (qr) [g (r) -1]}

.

(6)

Уравнение сжимаемости

Оценка (6) в ${displaystyle q = 0}$ и используя соотношение между изотермическими сжимаемость ${displaystyle extstyle chi _ {T}}$ а структурный фактор в начале координат дает уравнение сжимаемости:

{displaystyle ho kTchi _ {T} = kTleft ({frac {partial ho} {partial p}} ight) = 1 + ho int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, [g (r) -1] }

.

(7)

Потенциал средней силы

Это можно показать^[2] что функция радиального распределения связана с двухчастичной потенциал средней силы ${displaystyle w ^ {(2)} (r)}$ от:

{displaystyle g (r) = exp left [- {frac {w ^ {(2)} (r)} {kT}} ight]}

.

(8)

В разбавленном пределе потенциал средней силы - это точный парный потенциал, при котором конфигурация точки равновесия имеет заданную ${displaystyle g (r)}$ .

Уравнение энергии

Если частицы взаимодействуют через одинаковые парные потенциалы: ${displaystyle extstyle U_ {N} = sum _ {i> j = 1} ^ {N} u (left | mathbf {r} _ {i} -mathbf {r} _ {j} ight |)}$ , средняя внутренняя энергия, приходящаяся на одну частицу, составляет:^[3]^{:Раздел 2.5}

{displaystyle {frac {leftlangle Eightangle} {N}} = {frac {3} {2}} kT + {frac {leftlangle U_ {N} ightangle} {N}} = {frac {3} {2}} kT + {frac {ho} {2}} int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, u (r) g (r, ho, T)}

.

(9)

Уравнение состояния давления

Развитие вириальное уравнение дает уравнение состояния давления:

{displaystyle p = ho kT- {frac {ho ^ {2}} {6}} int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, rg (r, ho, T) {frac {mathrm {d} u (r)} {mathrm {d} r}}}

.

(10)

Термодинамические свойства в 3D

Функция радиального распределения является важной мерой, поскольку на ее основе можно рассчитать несколько ключевых термодинамических свойств, таких как потенциальная энергия и давление.

Для трехмерной системы, в которой частицы взаимодействуют через парные потенциалы, потенциальная энергия системы может быть рассчитана следующим образом:^[4]

${displaystyle PE = {frac {N} {2}} 4pi ho int _ {0} ^ {infty} r ^ {2} u (r) g (r) dr}$

Где N - количество частиц в системе, ${displaystyle ho}$ - числовая плотность, ${displaystyle u (r)}$ это парный потенциал.

Давление в системе также можно рассчитать, связав 2-е вириальный коэффициент к ${displaystyle g (r)}$ . Давление можно рассчитать следующим образом:^[4]

${displaystyle P = ho k_ {B} T- {frac {2} {3}} pi ho ^ {2} int _ {0} ^ {infty} dr {frac {du (r)} {dr}} r ^ {3} g (r)}$

Где ${displaystyle T}$ это температура и ${displaystyle k_ {B}}$ - постоянная Больцмана. Обратите внимание, что результаты для потенциала и давления не будут такими точными, как при прямом вычислении этих свойств из-за усреднения, связанного с вычислением ${displaystyle g (r)}$ .

Приближения

Для разбавленных систем (например, газов) корреляции в положениях частиц, которые ${displaystyle g (r)}$ приходится только из-за потенциальных ${displaystyle u (r)}$ порожденная эталонной частицей, без учета косвенных эффектов. Таким образом, в первом приближении это просто дается законом распределения Больцмана:

{displaystyle g (r) = exp left [- {frac {u (r)} {kT}} ight]}

.

(11)

Если ${displaystyle u (r)}$ были нулевыми для всех ${displaystyle r}$ - т.е. если частицы не оказывали никакого влияния друг на друга, то ${displaystyle g (r) = 1}$ для всех ${displaystyle mathbf {r}}$ а средняя локальная плотность была бы равна средней плотности ${displaystyle ho}$ : присутствие частицы в точке O не повлияет на распределение частиц вокруг нее, и газ будет идеальным. На расстояния ${displaystyle r}$ такой, что ${displaystyle u (r)}$ значимо, средняя локальная плотность будет отличаться от средней плотности ${displaystyle ho}$ , в зависимости от знака ${displaystyle u (r)}$ (выше для отрицательной энергии взаимодействия и ниже для положительного ${displaystyle u (r)}$ ).

По мере увеличения плотности газа предел низкой плотности становится все менее и менее точным, поскольку частица, находящаяся в ${displaystyle mathbf {r}}$ испытывает не только взаимодействие с частицей в O, но и с другими соседями, на которые сама влияет эталонная частица. Это опосредованное взаимодействие увеличивается с плотностью, поскольку есть больше соседей, с которыми можно взаимодействовать: имеет физический смысл написать расширение плотности ${displaystyle g (r)}$ , который напоминает вириальное уравнение:

{displaystyle g (r) = exp left [- {frac {u (r)} {kT}} ight] y (r) quad mathrm {with} quad y (r) = 1 + сумма _ {n = 1} ^ {infty} ho ^ {n} y_ {n} (r)}

.

(12)

Это сходство не случайно; действительно, подставив (12) в приведенных выше соотношениях для термодинамических параметров (уравнения 7, 9 и 10) дает соответствующие вириальные разложения.^[5] Вспомогательная функция ${displaystyle y (r)}$ известен как функция распределения полости.^[3]^{:Таблица 4.1.} Было показано, что для классических жидкостей при фиксированной плотности и фиксированной положительной температуре эффективный парный потенциал, генерирующий заданный ${displaystyle g (r)}$ в состоянии равновесия единственна с точностью до аддитивной константы, если она существует.^[6]

В последние годы определенное внимание было уделено разработке парных корреляционных функций для пространственно-дискретных данных, таких как решетки или сети.^[7]

Экспериментальный

Можно определить ${displaystyle g (r)}$ косвенно (через его связь со структурным фактором ${displaystyle S (q)}$ ) с помощью рассеяние нейтронов или рассеяние рентгеновских лучей данные. Техника может использоваться на очень коротких масштабах длины (вплоть до атомного уровня.^[8]), но требует значительного пространственного и временного усреднения (по размеру выборки и времени сбора данных соответственно). Таким образом, функция радиального распределения была определена для самых разных систем, начиная от жидких металлов^[9] заряженным коллоидам.^[10] Переход от экспериментального ${displaystyle S (q)}$ к ${displaystyle g (r)}$ не является простым, и анализ может быть довольно сложным.^[11]

Также возможно вычислить ${displaystyle g (r)}$ непосредственно путем извлечения положения частиц с помощью традиционной или конфокальной микроскопии.^[12] Этот метод ограничен частицами, достаточно крупными для оптического обнаружения (в диапазоне микрометров), но он имеет то преимущество, что он разрешается во времени, так что, помимо статической информации, он также дает доступ к динамическим параметрам (например, константы диффузии^[13]), а также с пространственным разрешением (до уровня отдельной частицы), что позволяет выявить морфологию и динамику локальных структур в коллоидных кристаллах,^[14] очки,^[15],^[16] гели,^[17]^[18] и гидродинамические взаимодействия.^[19]

Прямая визуализация полной (зависимой от расстояния и угла) парной корреляционной функции была достигнута с помощью сканирующая туннельная микроскопия в случае двумерных молекулярных газов.^[20]

Корреляционные функции высшего порядка

Функции распределения высшего порядка ${displaystyle extstyle g ^ {(k)}}$ с ${displaystyle extstyle k> 2}$ были менее изучены, поскольку они, как правило, менее важны для термодинамики системы; в то же время они недоступны с помощью обычных методов рассеяния. Однако их можно измерить когерентное рассеяние рентгеновских лучей и интересны тем, что могут выявить локальные симметрии в неупорядоченных системах.^[21]

Смотрите также

[1] Dinnebier, R.E; Биллинге, С. Дж. Л. (10 марта 2008 г.). Порошковая дифракция: теория и практика (1-е изд.). Королевское химическое общество. стр.470 –473. Дои:10.1039/9781847558237. ISBN 978-1-78262-599-5.

[Chandler1987-2] Чендлер, Д. (1987). "7.3". Введение в современную статистическую механику. Издательство Оксфордского университета.

[HansenMcDonald2005-3] а ^б Хансен, Дж. П. и Макдональд И. Р. (2005). Теория простых жидкостей (3-е изд.). Академическая пресса.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

[softmatter-4] а ^б Френкель, Даан; Смит, Беренд (2002). Понимание молекулярного моделирования от алгоритмов до приложений (2-е изд.). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0122673511.

[Barker:1976-5] Barker, J .; Хендерсон, Д. (1976). «Что такое« жидкость »? Понимание состояний материи». Обзоры современной физики. 48 (4): 587. Bibcode:1976РвМП ... 48..587Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.48.587.

[6] Хендерсон, Р. Л. (9 сентября 1974 г.). «Теорема единственности для парных корреляционных функций жидкости». Письма о физике A. 49 (3): 197–198. Дои:10.1016/0375-9601(74)90847-0. ISSN 0375-9601.

[7] Гаваньин, Энрико (4 июня 2018 г.). «Парные корреляционные функции для определения пространственной корреляции в дискретных областях». Физический обзор E. 97 (1): 062104. arXiv:1804.03452. Дои:10.1103 / PhysRevE.97.062104. PMID 30011502. S2CID 50780864.

[8] Yarnell, J .; Кац, М .; Wenzel, R .; Кениг, С. (1973). «Структурный фактор и функция радиального распределения для жидкого аргона при 85 ° K». Физический обзор A. 7 (6): 2130. Bibcode:1973PhRvA ... 7.2130Y. Дои:10.1103 / PhysRevA.7.2130.

[9] Gingrich, N. S .; Хитон, Л. (1961). «Структура щелочных металлов в жидком состоянии». Журнал химической физики. 34 (3): 873. Bibcode:1961ЖЧФ..34..873Г. Дои:10.1063/1.1731688.

[10] Sirota, E .; Ou-Yang, H .; Sinha, S .; Чайкин, П .; Axe, J .; Фуджи, Ю. (1989). «Полная фазовая диаграмма заряженной коллоидной системы: исследование синхротронного рентгеновского рассеяния». Письма с физическими проверками. 62 (13): 1524–1527. Bibcode:1989ПхРвЛ..62.1524С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.62.1524. PMID 10039696.

[11] Педерсен, Дж. С. (1997). «Анализ данных малоуглового рассеяния из растворов коллоидов и полимеров: моделирование и аппроксимация методом наименьших квадратов». Достижения в области коллоидной и интерфейсной науки. 70: 171–201. Дои:10.1016 / S0001-8686 (97) 00312-6.

[12] Crocker, J.C .; Гриер, Д. Г. (1996). «Методы цифровой видеомикроскопии для коллоидных исследований». Журнал коллоидной и интерфейсной науки. 179 (1): 298–310. Bibcode:1996JCIS..179..298C. Дои:10.1006 / jcis.1996.0217.

[13] Nakroshis, P .; Amoroso, M .; Legere, J .; Смит, К. (2003). «Измерение постоянной Больцмана с помощью видеомикроскопии броуновского движения». Американский журнал физики. 71 (6): 568. Bibcode:2003AmJPh..71..568N. Дои:10.1119/1.1542619.

[14] Gasser, U .; Weeks, E. R .; Schofield, A .; Pusey, P.N .; Вайц, Д. А. (2001). "Визуализация в реальном пространстве зарождения и роста коллоидной кристаллизации". Наука. 292 (5515): 258–262. Bibcode:2001Sci ... 292..258G. Дои:10.1126 / science.1058457. PMID 11303095. S2CID 6590089.

[15] М.И. Охован, Д. Лузгин-Лузгин. Выявление структурных изменений при стекловании с помощью радиальных функций распределения. J. Phys. Chem. В, 124 (15), 3186-3194 (2020) https://doi.org/10.1021/acs.jpcb.0c00214

[16] Weeks, E. R .; Crocker, J.C .; Levitt, A.C .; Schofield, A .; Вайц, Д. А. (2000). "Трехмерное прямое изображение структурной релаксации вблизи перехода коллоидного стекла". Наука. 287 (5453): 627–631. Bibcode:2000Sci ... 287..627W. Дои:10.1126 / science.287.5453.627. PMID 10649991.

[17] Cipelletti, L .; Manley, S .; Ball, R.C .; Вайц, Д. А. (2000). «Универсальные особенности старения в реструктуризации фрактальных коллоидных гелей». Письма с физическими проверками. 84 (10): 2275–2278. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2275С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2275. PMID 11017262.

[18] Varadan, P .; Соломон, М. Дж. (2003). «Прямая визуализация гетерогенной структуры на больших расстояниях в плотных коллоидных гелях». Langmuir. 19 (3): 509. Дои:10.1021 / la026303j.

[19] Gao, C .; Kulkarni, S.D .; Моррис, Дж. Ф .; Гилкрист, Дж. Ф. (2010). «Прямое исследование анизотропной структуры подвески в давлении с приводом потока». Физический обзор E. 81 (4): 041403. Bibcode:2010PhRvE..81d1403G. Дои:10.1103 / PhysRevE.81.041403. PMID 20481723.

[20] Матвия, Петр; Розборжил, Филип; Соботик, Павел; Ошлядал, Иван; Кочан, Павел (2017). «Парная корреляционная функция двумерного молекулярного газа, непосредственно визуализированная с помощью сканирующей туннельной микроскопии». Письма в Журнал физической химии. 8 (17): 4268–4272. Дои:10.1021 / acs.jpclett.7b01965. PMID 28830146.

[21] Wochner, P .; Gutt, C .; Autenrieth, T .; Demmer, T .; Бугаев, В .; Ортис, А.Д .; Дури, А .; Zontone, F .; Grubel, G .; Дош, Х. (2009). «Рентгеновский кросс-корреляционный анализ обнаруживает скрытые локальные симметрии в неупорядоченном веществе». Труды Национальной академии наук. 106 (28): 11511–4. Bibcode:2009PNAS..10611511W. Дои:10.1073 / pnas.0905337106. ЧВК 2703671. PMID 20716512.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]