Ранг раздела - Rank of a partition

Ранг раздела, отображаемый как его Диаграмма Юнга

Фриман Дайсон в 2005 году

В математика, особенно в области теория чисел и комбинаторика, то ранг разбиения положительного целого числа это определенный целое число связанный с раздел. Фактически, в литературе встречается по крайней мере два разных определения ранга. Первое определение, которому посвящена большая часть этой статьи, заключается в том, что ранг раздела - это число, полученное вычитанием количества частей в разделе из наибольшей части в разделе. Концепция была представлена Фриман Дайсон в статье, опубликованной в журнале Эврика.^[1] Он был представлен в контексте исследования некоторых соответствие свойства функция распределения открыт индийским математическим гением Шриниваса Рамануджан. Другое понятие, носящее то же имя, используется в комбинаторике, где за ранг понимается размер Площадь Дерфи раздела.

Определение

Автор раздел положительного целого числа п мы имеем в виду конечное мультимножество λ = {λ_k, λ_{k − 1},. . . , λ₁ } натуральных чисел, удовлетворяющих следующим двум условиям:

• λ_k ≥. . . ≥ λ₂ ≥ λ₁ > 0.
• λ_k +. . . + λ₂ + λ₁ = п.

Если λ_k, . . . , λ₂, λ₁ различны, т. е. если

• λ_k >. . . > λ₂ > λ₁ > 0

тогда раздел λ называется строгое разделение из п. Целые числа λ_k, λ_{k − 1}, ..., λ₁ являются части раздела. Количество деталей в перегородке λ является k и самая большая часть в перегородке λ_k. Ранг раздела λ (обычный или строгий) определяется как λ_k − k.^[1]

Ряды перегородок п принимают следующие значения и никакие другие:^[1]

п − 1, п −3, п −4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −(п − 4), −(п − 3), −(п − 1).

В следующей таблице приведены ранги различных разделов числа 5.

Обозначения

Следующие ниже обозначения используются для указания количества разделов, имеющих данный ранг. Позволять п, q быть натуральным числом и м быть любым целым числом.

• Общее количество разделов п обозначается п(п).
• Количество разделов п со званием м обозначается N(м, п).
• Количество разделов п с рангом, соответствующим м по модулю q обозначается N(м, q, п).
• Количество строгих перегородок п обозначается Q(п).
• Количество строгих перегородок п со званием м обозначается р(м, п).
• Количество строгих перегородок п с рангом, соответствующим м по модулю q обозначается Т(м, q, п).

Например,

п(5) = 7 , N(2, 5) = 1 , N(3, 5) = 0 , N(2, 2, 5) = 5 .

Q(5) = 3 , р(2, 5) = 1 , р(3, 5) = 0 , Т(2, 2, 5) = 2.

Некоторые основные результаты

Позволять п, q быть натуральным числом и м быть любым целым числом.^[1]

• ${ Displaystyle Н (м, п) = Н (-м, п)}$
• ${ Displaystyle Н (м, д, п) = Н (д-м, д, п)}$
• ${ Displaystyle N (m, q, n) = сумма _ {r = - infty} ^ { infty} N (m + rq, n)}$

Сравнение Рамануджана и гипотеза Дайсона

Шриниваса Рамануджан в статье, опубликованной в 1919 году, доказал следующее: совпадения с участием статистической суммы п(п):^[2]

• п(5 п + 4) ≡ 0 (мод. 5)
• п(7п + 5) ≡ 0 (мод 7)
• п(11п + 6) ≡ 0 (мод.11)

Комментируя этот результат, Дайсон отметил, что «... хотя мы можем доказать, что разбиения 5п + 4 можно разделить на пять одинаково многочисленных подклассов, неудовлетворительно получить из доказательств отсутствие конкретного представления о том, как должно производиться разделение. Нам потребуется доказательство, которое не относится к производящим функциям,. . . ".^[1] Дайсон ввел идею ранга перегородки для выполнения поставленной перед собой задачи. Используя эту новую идею, он сделал следующие предположения:

• N(0, 5, 5п + 4) = N(1, 5, 5п + 4) = N(2, 5, 5п + 4) = N(3, 5, 5п + 4) = N(4, 5, 5п + 4)
• N(0, 7, 7п + 5) = N(1, 7, 7п + 5) = N(2, 7, 7п + 5) = . . . = N(6, 7, 7п + 5)

Эти предположения были доказаны Аткином и Суиннертон-Дайером в 1954 году.^[3]

В следующих таблицах показано, как разбиения целых чисел 4 (5 ×п + 4 с п = 0) и 9 (5 ×п + 4 с п = 1) делятся на пять одинаково многочисленных подклассов.

Производящие функции

• Производящая функция п(п) был открыт Эйлером и хорошо известен.^[4]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} p (n) x ^ {n} = prod _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {(1-x ^ {k})}}}$

• Производящая функция для N(м, п) приводится ниже:^[5]

${ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} N (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {n ^ {2}}} { prod _ {k = 1} ^ {n} (1-zq ^ {k}) ( 1-z ^ {- 1} q ^ {k})}}}$

• Производящая функция для Q ( п ) приведено ниже:^[6]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} Q (n) x ^ {n} = prod _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(1-x ^ {2k-1})}}}$

• Производящая функция для Q ( м , п ) приведено ниже:^[6]

${ displaystyle sum _ {m, n = 0} ^ { infty} Q (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + sum _ {s = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {s (s + 1) / 2}} {(1-zq) (1-zq ^ {2}) cdots (1-zq ^ {s})}}}$

Альтернативное определение

В комбинаторике фраза ранг раздела иногда используется для описания другой концепции: ранг разбиения λ является наибольшим целым числом я такое, что λ имеет не менее я части, каждая из которых не меньше чем я.^[7] Эквивалентно, это длина главной диагонали в Диаграмма Юнга или же Диаграмма Феррерса для λ, или длина стороны Площадь Дерфи из λ.

Таблица рангов перегородок 5 приведена ниже.

дальнейшее чтение

• Асимптотические формулы для статистической суммы ранга:^[8]
• Сравнения для функции ранга:^[9]
• Обобщение ранга до BG-ранга:^[10]

Смотрите также

• Кривошип перегородки

Рекомендации