Тетраэдр Рива - Reeve tetrahedron

Тетраэдр Рива

В геометрия, то Тетраэдр Рива это многогранник, в трехмерное пространство с вершинами в $(0, 0, 0)$ , $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ и $(1, 1, р)$ куда $р$ положительное целое число. Он назван в честь Джон Рив, который использовал его, чтобы показать, что многомерные обобщения Теорема Пика не существует.

Контрпример к обобщениям теоремы Пика

Каждая вершина тетраэдра Рива лежит на фундаментальном точка решетки (точка в $ℤ 3$ ). Никакие другие фундаментальные точки решетки не лежат на поверхности или внутри тетраэдр. В объем тетраэдра Рива $р /6$ . В 1957 году Рив использовал этот тетраэдр, чтобы показать, что существуют тетраэдры с четырьмя точками решетки в качестве вершин и не содержащие других точек решетки, но со сколь угодно большим объемом.^[1]

В двух измерениях площадь каждого многогранника с вершинами решетки определяется как формула количества точек решетки в его вершинах, на границе и внутри, согласно Теорема Пика. Тетраэдры Рива подразумевают, что не может быть соответствующей формулы для объема в трех или более измерениях. Любая такая формула не смогла бы различить тетраэдры Рива с различным выбором $р$ друг от друга, но их объемы отличаются друг от друга.^[1]

Несмотря на этот отрицательный результат, можно (как показал Рив) разработать более сложную формулу для объема многогранника решетки, которая сочетает в себе число узлов решетки в многограннике, число узлов более тонкой решетки в многограннике и Эйлерова характеристика многогранника.^[1]^[2]

Многочлен Эрхарта

В Многочлен Эрхарта любого решетчатого многогранника подсчитывает количество узлов решетки, которые он содержит, при увеличении в целочисленном масштабе. Полином Эрхарта тетраэдра Рива $Т р$ высоты $р$ является^[3]

{displaystyle L ({mathcal {T}} _ {r}, t) = {frac {r} {6}} t ^ {3} + t ^ {2} + left (2- {frac {r} {6 }} ight) t + 1.}

Таким образом, для $р \geq 13$ , коэффициент $т$ в полиноме Эрхарта от $Т р$ отрицательный. Этот пример показывает, что полиномы Эрхарта иногда могут иметь отрицательные коэффициенты.^[3]

Рекомендации

^ ^а ^б ^c Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества. Третья серия. 7: 378–395. Дои:10.1112 / плмс / с3-7.1.378. МИСТЕР 0095452.
^ Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Нечетная формула для объема трехмерных решетчатых многогранников». Geometriae Dedicata. 61 (3): 271–278. Дои:10.1007 / BF00150027. МИСТЕР 1397808.
^ ^а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Вычисление непрерывных дискретных чисел: перечисление целых точек в многогранниках. Тексты для бакалавриата по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 78–79, 82. Дои:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. МИСТЕР 3410115.

[reeve-1] а ^б ^c Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества. Третья серия. 7: 378–395. Дои:10.1112 / плмс / с3-7.1.378. МИСТЕР 0095452.

[k-2] Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Нечетная формула для объема трехмерных решетчатых многогранников». Geometriae Dedicata. 61 (3): 271–278. Дои:10.1007 / BF00150027. МИСТЕР 1397808.

[br-3] а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Вычисление непрерывных дискретных чисел: перечисление целых точек в многогранниках. Тексты для бакалавриата по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 78–79, 82. Дои:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. МИСТЕР 3410115.

[1]

[2]

[3]