Обычный идеал - Regular ideal

В математика, особенно теория колец, а обычный идеал может относиться к нескольким понятиям.

В теория операторов, право идеальный ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ в (возможно) неунитальное кольцо А как говорят обычный (или же модульный), если существует элемент е в А такой, что ${ displaystyle ex-x in { mathfrak {i}}}$ для каждого ${ displaystyle x in A}$.^[1]

В коммутативная алгебра а обычный идеал относится к идеалу, содержащему не-делитель нуля.^[2][3] В этой статье мы будем использовать «идеал обычного элемента», чтобы помочь отличить этот тип идеала.

Двусторонний идеал ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ кольца р также может быть назван (фон Нейман) обычный идеал если для каждого элемента Икс из ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ существует у в ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ такой, что xyx=Икс.^[4][5]

Ну наконец то, обычный идеал использовался для обозначения идеального J кольца р так что кольцо частного р/J является регулярное кольцо фон Неймана.^[6] В этой статье для обозначения этого типа регулярного идеала будет использоваться термин «регулярный фактор фон Неймана».

Поскольку прилагательное обычный был перегружен, в этой статье используются альтернативные прилагательные модульный, регулярный элемент, фон Нейман регулярный, и фактор фон Неймана регулярный различать понятия.

Свойства и примеры

Модульные идеалы

Понятие модульных идеалов позволяет обобщить различные характеристики идеалов в унитальном кольце на неунитальные параметры.

Двусторонний идеал ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ является модульным тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A / { mathfrak {i}}}$ является единым. В унитальном кольце каждый идеал является модульным, поскольку выбирая е= 1 работает для любого правильного идеала. Итак, понятие более интересно для неунитарных колец, таких как Банаховы алгебры. Из определения легко понять, что идеал, содержащий модульный идеал, сам является модульным.

Несколько удивительно, но можно доказать, что даже в кольцах без единицы модулярный правый идеал содержится в максимальном правом идеале.^[7] Однако кольцо без идентичности может полностью лишиться модульных правых идеалов.

Пересечение всех максимальных правых идеалов, которые модулярны, есть Радикал Якобсона.^[8]

Примеры

• В неединичном кольце целых четных чисел (6) регулярно (${ displaystyle e = 4}$), а (4) - нет.
• Позволять M - простой правый A-модуль. Если Икс ненулевой элемент в M, то аннигилятор Икс является регулярным максимальным правым идеалом в А.
• Если А кольцо без максимальных правых идеалов, то А не может быть ни единого модульного правильного идеала.

Идеалы регулярных элементов

Каждое кольцо с единицей имеет хотя бы один регулярный элементный идеал: тривиальный идеал р сам. Идеалы регулярных элементов коммутативных колец - это основные идеалы. В полупервичный верно Кольцо Goldie, верно обратное: все существенные идеалы - это идеалы регулярных элементов.^[9]

Поскольку произведение двух регулярные элементы (= ненулевые делители) коммутативного кольца р снова является регулярным элементом, очевидно, что произведение двух идеалов регулярных элементов снова является идеалом регулярного элемента. Ясно, что любой идеал, содержащий идеал регулярного элемента, снова является идеалом регулярного элемента.

Примеры

• В область целостности, каждый ненулевой элемент является регулярным элементом, поэтому любой ненулевой идеал является идеалом регулярного элемента.
• В нильрадикал коммутативного кольца целиком состоит из нильпотентные элементы, поэтому ни один элемент не может быть регулярным. Это дает пример идеала, который не является идеалом регулярного элемента.
• В Артинианское кольцо, каждый элемент либо обратимый или делитель нуля. По этой причине такое кольцо имеет только один идеал регулярного элемента: просто р.

Регулярные идеалы фон Неймана

Из определения ясно, что р это регулярное кольцо фон Неймана если и только если р является регулярным идеалом фон Неймана. Следующее утверждение является релевантной леммой для регулярных идеалов фон Неймана:

Лемма: Для кольца р и правильный идеал J содержащий элемент а, существует и элемент у в J такой, что а=айа тогда и только тогда, когда существует элемент р в р такой, что а=ара. Доказательство: Направление «только если» - тавтология. Для направления «если» имеем а=ара=Арара. С а в J, так это рар, и поэтому, установив у=рар у нас есть заключение.

Как следствие этой леммы, очевидно, что каждый идеал регулярного кольца фон Неймана является регулярным идеалом фон Неймана. Другое следствие: если J и K два идеала р такой, что J⊆K и K является регулярным идеалом фон Неймана, то J также является регулярным идеалом фон Неймана.

Если J и K два идеала р, тогда K является регулярным по фон Нейману тогда и только тогда, когда оба J является регулярным идеалом фон Неймана и K/J является регулярным кольцом фон Неймана.^[10]

Каждое кольцо имеет хотя бы один регулярный идеал фон Неймана, а именно {0}. Кроме того, каждое кольцо имеет максимальный регулярный идеал фон Неймана, содержащий все другие регулярные идеалы фон Неймана, и этот идеал задается формулой

${ displaystyle M = {x in R mid RxR { text {- регулярный идеал фон Неймана}} }}$.

Примеры

• Как отмечалось выше, каждый идеал регулярного кольца фон Неймана является регулярным идеалом фон Неймана.
• Хорошо известно, что местное кольцо которое также является регулярным кольцом фон Неймана, является делительное кольцо^{[нужна цитата ]}. Позволять р Будьте местным кольцом, которое нет тело, и обозначим единственный максимальный правый идеал через J. потом р не может быть регулярным по фон Нейману, но р/J, будучи делительным кольцом, является регулярным кольцом фон Неймана. Как следствие, J не может быть регулярным идеалом фон Неймана, даже если он максимален.
• А просто домен которое не является телом, имеет минимально возможное число регулярных идеалов фон Неймана: только идеал {0}.

Фактор фон Неймана регулярные идеалы

Если J и K являются фактор-регулярными идеалами фон Неймана, то J∩K.

Если J⊆K настоящие идеалы р и J фактор фон Неймана регулярен, то K. Это потому, что частные р/J все регулярные кольца фон Неймана, и теорема об изоморфизме для колец, устанавливающих, что р/K≅(р/J)/(J/K). В частности, если А является любой идеально в р идеал А+J фактор-фон Неймана, если J является.

Примеры

• Каждый собственный идеал регулярного кольца фон Неймана фактор-регулярен по фон Нейману.
• Любой максимальный идеал в коммутативном кольце является фактор-регулярным идеалом фон Неймана, поскольку р/M это поле. В общем случае это неверно, поскольку для некоммутативных колец р/M может быть только простым кольцом и не может быть регулярным по фон Нейману.
• Позволять р - локальное кольцо, не являющееся телом, с максимальным правым идеалом M . потом M является фактор-регулярным идеалом фон Неймана, поскольку р/M это делительное кольцо, но р не является регулярным кольцом фон Неймана.
• В целом в любом полулокальное кольцо то Радикал Якобсона J фактор-регулярен по фон Нейману, поскольку р/J это полупростое кольцо, следовательно, регулярное кольцо фон Неймана.

Рекомендации

Библиография

• Гударл, К. Р. (1991). регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.). Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. Xviii + 412. ISBN  0-89464-632-X. МИСТЕР  1150975.
• Джейкобсон, Натан (1956). Структура колец. Американское математическое общество, Публикации коллоквиума, т. 37. Prov., R.I .: Американское математическое общество. С. vii + 263. МИСТЕР  0081264.
• Капланский, Ирвинг (1948), «Двойные кольца», Анна. математики., 2, 49 (3): 689–701, Дои:10.2307/1969052, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969052, МИСТЕР  0025452
• Каплански, Ирвинг (1969). Поля и кольца. Издательство Чикагского университета.
• Ларсен, Макс. D .; Маккарти, Пол Дж. (1971). «Мультипликативная теория идеалов». Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Academic Press. 43: xiv, 298. МИСТЕР  0414528.
• Жевлаков, К. (2001) [1994], «Модульный идеал», Энциклопедия математики, EMS Press