Относительная вероятность - Википедия - Relative likelihood

В статистика, предположим, что нам даны какие-то данные, и мы строим статистическая модель этих данных. В относительная вероятность сравнивает относительную правдоподобность различных моделей-кандидатов или различных значений параметра одной модели.

Относительная вероятность значений параметров

Предположим, что нам даны некоторые данные $Икс$ для которого у нас есть статистическая модель с параметром $θ$ . Предположим, что оценка максимального правдоподобия за $θ$ является ${ displaystyle { hat { theta}}}$ . Относительные правдоподобия других $θ$ значения могут быть найдены путем сравнения правдоподобия этих других значений с вероятностью ${ displaystyle { hat { theta}}}$ . В относительная вероятность из $θ$ определяется как^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

{ displaystyle { frac {~ { mathcal {L}} ( theta mid x) ~} {~ { mathcal {L}} ({ hat { theta}} mid x) ~}}}

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}} ( theta mid x)}$ обозначает функцию правдоподобия. Таким образом, относительная вероятность - это отношение правдоподобия с фиксированным знаменателем ${ displaystyle { mathcal {L}} ({ hat { theta}} mid x)}$ .

Функция

{ displaystyle theta mapsto { frac {~ { mathcal {L}} ( theta mid x) ~} {~ { mathcal {L}} ({ hat { theta}} mid x) ~}}}

это функция относительного правдоподобия.

Область вероятности

А область вероятности - множество всех значений $θ$ чья относительная вероятность больше или равна заданному порогу. В процентном отношении $п$ % вероятности за $θ$ определяется как быть.^[1]^[3]^[6]

{ displaystyle left { theta: { frac {{ mathcal {L}} ( theta mid x)} {{ mathcal {L}} ({ hat { theta ,}} mid x)}} geq { frac {p} {100}} right }.}

Если $θ$ - единственный действительный параметр, a $п$ Область% правдоподобия обычно включает интервал реальных ценностей. Если регион действительно содержит интервал, то он называется правдоподобный интервал.^[1]^[3]^[7]

Интервалы правдоподобия и, в более общем смысле, области правдоподобия используются для интервальная оценка в статистике, основанной на правдоподобии (статистика "правдоподобия"): они похожи на доверительные интервалы в частотной статистике и достоверные интервалы в байесовской статистике. Интервалы правдоподобия интерпретируются непосредственно с точки зрения относительной вероятности, а не с точки зрения вероятность покрытия (частотность) или апостериорная вероятность (Байесианство).

Для данной модели интервалы правдоподобия можно сравнить с доверительными интервалами. Если $θ$ является единственным действительным параметром, то при определенных условиях интервал правдоподобия 14,65% (вероятность 1: 7) для $θ$ будет таким же, как 95% доверительный интервал (вероятность охвата 19/20).^[1]^[6] В несколько иной формулировке, подходящей для использования логарифмических вероятностей (см. Теорема Уилкса ), тестовая статистика вдвое превышает разницу в логарифмических вероятностях, а распределение вероятностей тестовой статистики приблизительно равно распределение хи-квадрат со степенями свободы (df), равными разнице df-s между двумя моделями (следовательно, $е$ ⁻² интервал правдоподобия такой же, как и доверительный интервал 0,954; предполагая, что разница в df-s равна 1).^[6]^[7]

Относительная вероятность моделей

Определение относительного правдоподобия можно обобщить для сравнения различных статистические модели. Это обобщение основано на AIC (Информационный критерий Акаике) или иногда AICc (Информационный критерий Акаике с поправками).

Предположим, что для некоторых данных у нас есть две статистические модели, $M 1$ и $M 2$ . Также предположим, что $AIC (M 1 \leq AIC (M 2)$ . Тогда относительная вероятность из $M 2$ относительно $M 1$ определяется следующим образом.^[8]

{ displaystyle exp left ({ frac { operatorname {AIC} (M_ {1}) - operatorname {AIC} (M_ {2})} {2}} right)}

Чтобы увидеть, что это обобщение предыдущего определения, предположим, что у нас есть некоторая модель $M$ с параметром (возможно многомерным) $θ$ . Тогда для любого $θ$ , набор $M 2 = M (θ)$ , а также установить $M 1 = M ($ ${ displaystyle { hat { theta}}}$ $)$ . Общее определение теперь дает тот же результат, что и предыдущее определение.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Kalbfleisch, J.G. (1985). Вероятность и статистический вывод. Springer. §9.3..
^ Аззалини, А. (1996). Статистический вывод - основанный на вероятности. Чепмен и Холл. §1.4.2. ISBN 9780412606502..
^ ^а ^б ^c Спротт, Д.А. (2000). Статистический вывод в науке. Springer. глава 2..
^ Дэвисон, A.C. (2008). Статистические модели. Издательство Кембриджского университета. §4.1.2..
^ Held, L .; Сабанес Бове, Д.С. (2014). Прикладной статистический вывод - вероятность и байесовский. Springer. §2.1..
^ ^а ^б ^c Росси, Р.Дж. (2018), Математическая статистика, Wiley, п. 267
^ ^а ^б Хадсон, Д.Дж. (1971). «Интервальная оценка по функции правдоподобия». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 33: 256–262..
^ Burnham, K. P .; Андерсон, Д. Р. (2002), Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход, Спрингер, §2.8.

[Kalbfleisch-1] а ^б ^c ^d Kalbfleisch, J.G. (1985). Вероятность и статистический вывод. Springer. §9.3..

[2] Аззалини, А. (1996). Статистический вывод - основанный на вероятности. Чепмен и Холл. §1.4.2. ISBN 9780412606502..

[Sprott-3] а ^б ^c Спротт, Д.А. (2000). Статистический вывод в науке. Springer. глава 2..

[4] Дэвисон, A.C. (2008). Статистические модели. Издательство Кембриджского университета. §4.1.2..

[5] Held, L .; Сабанес Бове, Д.С. (2014). Прикладной статистический вывод - вероятность и байесовский. Springer. §2.1..

[Rossi2018-6] а ^б ^c Росси, Р.Дж. (2018), Математическая статистика, Wiley, п. 267

[Hudson-7] а ^б Хадсон, Д.Дж. (1971). «Интервальная оценка по функции правдоподобия». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 33: 256–262..

[8] Burnham, K. P .; Андерсон, Д. Р. (2002), Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход, Спрингер, §2.8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]