Срок возврата - Return period

А период возврата, также известный как интервал повторения или интервал повторения, это среднее время или расчетное среднее время между событиями, такими как землетрясения, наводнения,^[1] оползни,^[2] или сток реки происходить.

Это статистическое измерение, обычно основанное на исторических данных за длительный период, которое обычно используется для анализа рисков. Примеры включают принятие решения о том, следует ли разрешить проекту продвигаться в зоне определенного риска или проектирование структур, способных противостоять событиям с определенным периодом повторяемости. Следующий анализ предполагает, что вероятность наступления события не меняется во времени и не зависит от прошлых событий.

Оценка периода возврата

Интервал повторения ${ displaystyle = {n + 1 над m}}$

п количество лет на учете;

м - это ранг наблюдаемых явлений в порядке убывания^[3]

Для наводнения событие может быть измерено в m³/ с или высота; за штормовые нагоны, с точки зрения высоты всплеска, и аналогично для других событий. Это формула Вейбулла.^[4]

Период возврата как величина, обратная ожидаемой частоте

Теоретический период повторяемости между возникновениями является обратной величиной средней частоты возникновения. Например, 10-летнее наводнение имеет вероятность 1/10 = 0,1 или 10%. превышен в любой год и 50-летнее наводнение имеет вероятность превышения 0,02 или 2% в любой год.

Это не означает, что 100-летнее наводнение будет происходить регулярно каждые 100 лет или только один раз в 100 лет. Несмотря на коннотации названия «период возврата». В любой данный 100-летний период, 100-летнее событие может произойти один, два, более или не произойти вовсе, и каждый исход имеет вероятность, которую можно вычислить, как показано ниже.

Кроме того, расчетный период возврата, указанный ниже, является статистика: он вычисляется на основе набора данных (наблюдений), в отличие от теоретического значения в идеализированном распределении. На самом деле никто не знает, что определенная или большая величина происходит с вероятностью 1%, только то, что она наблюдалась ровно один раз в 100 лет.

Это различие важно, потому что существует немного наблюдений за редкими событиями: например, если наблюдения продолжаются 400 лет назад, наиболее экстремальное событие (400-летнее событие по статистическому определению) может позже быть классифицировано при более длительном наблюдении как 200- событие года (если сопоставимое событие происходит немедленно) или событие за 500 лет (если сопоставимое событие не происходит в течение следующих 100 лет).

Кроме того, невозможно определить размер 1000-летнего события только на основе таких записей, вместо этого необходимо использовать статистическая модель чтобы предсказать величину такого (ненаблюдаемого) события. Даже если исторический интервал повторяемости намного меньше 1000 лет, если зарегистрировано несколько менее серьезных событий аналогичного характера, использование такой модели может предоставить полезную информацию, которая поможет оценить будущий интервал повторяемости.

Распределения вероятностей

Хотелось бы иметь возможность интерпретировать период повторяемости в вероятностных моделях. Самая логичная интерпретация этого - принять период повторяемости как скорость счета в распределение Пуассона так как это ожидаемое значение частоты появления. Альтернативная интерпретация состоит в том, чтобы принять это как вероятность годового Бернулли суд в биномиальное распределение. Это неприятно, потому что каждый год не является независимым судом Бернулли, а является произвольной мерой времени. Этот вопрос носит в основном академический характер, поскольку полученные результаты будут похожи как при пуассоновской, так и при биномиальной интерпретации.

Пуассон

В функция массы вероятности из распределение Пуассона является

${ displaystyle P_ {t} (r) = {( mu t) ^ {r} over r!} e ^ {- mu t} = {(t / T) ^ {r} over r!} e ^ {- t / T}}$

где ${ displaystyle r}$ это количество вхождений, для которых рассчитывается вероятность, ${ displaystyle t}$ интересующий период времени, ${ displaystyle T}$ период возврата и ${ displaystyle mu = 1 / T}$ - скорость счета.

Вероятность отсутствия событий можно получить, просто рассматривая случай ${ displaystyle r = 0}$. Формула

${ Displaystyle P_ {не встречается} (t) = e ^ {- mu t} = e ^ {- t / T}}$

Следовательно, вероятность превышения (т.е. вероятность события «более сильного», чем событие с периодом повторяемости ${ displaystyle T}$ произойти хотя бы один раз в интересующий период времени)

${ Displaystyle P_ {превышение} (t) = 1-P_ {отсутствие событий} (t) = 1-e ^ {- mu t} = 1-e ^ {- t / T}}$

Обратите внимание, что для любого события с периодом возврата ${ displaystyle T}$, вероятность превышения в пределах интервала, равного периоду повторяемости (т. е. ${ displaystyle t = T}$) не зависит от периода повторяемости и равна ${ Displaystyle 1- ехр (-1) приблизительно 63,2 \%}$. Это означает, например, что существует 63,2% вероятности того, что наводнение, превышающее 50-летнее возвратное наводнение, произойдет в течение любого 50-летнего периода.

пример

Если период повторяемости возникновения ${ textstyle T}$ 234 года (${ textstyle mu = 0,0043}$) то вероятность ровно одного события за десять лет равна

${ displaystyle { begin {align} P_ {t} (r) & = {( mu t) ^ {r} over r!} e ^ {- mu t} [6pt] P_ {10} (1) & = {(10/234) ^ {1} более 1!} E ^ {- 10/234} приблизительно 4,1 \% end {выровнено}}}$

Биномиальный

В данный период п лет, вероятность данного числа р событий повторяющегося периода ${ displaystyle mu}$ дается биномиальное распределение следующим образом.

${ displaystyle P (X = r) = {n choose r} mu ^ {r} (1- mu) ^ {n-r}.}$

Это справедливо только в том случае, если вероятность более одного появления в год равна нулю. Часто это близкое приближение, и в этом случае вероятности, полученные из этой формулы, имеют приблизительное значение.

Если ${ Displaystyle п rightarrow infty, mu rightarrow 0}$ таким образом, что ${ displaystyle n mu rightarrow lambda}$ тогда

${ displaystyle { frac {n!} {(nr)! r!}} mu ^ {r} (1- mu) ^ {nr} rightarrow e ^ {- lambda} { frac { lambda ^ {r}} {r!}}.}$

Брать

${ displaystyle mu = { frac {1} {T}} = {m over n + 1}}$

где

Т интервал возврата

п количество лет на записи;

м это количество записанных случаев рассматриваемого события

пример

Учитывая, что период повторяемости события составляет 100 лет,

${ displaystyle p = {1 более 100} = 0,01.}$

Таким образом, вероятность того, что такое событие произойдет ровно один раз за 10 лет подряд составляет:

${ displaystyle { begin {align} P (X = 1) & = { binom {10} {1}} times 0,01 ^ {1} times 0,99 ^ {9} [4pt] & приблизительно 10 times 0,01 times 0,914 [4pt] & приблизительно 0,0914 end {align}}}$

Анализ риска

Период возврата полезен для анализа рисков (таких как естественный, естественный или гидрологический риск отказа).^[5] При работе с ожиданиями конструкции конструкции период возврата полезен при расчете рискованности конструкции.

Вероятность хотя бы один событие, которое превышает проектные пределы в течение ожидаемого срока службы конструкции, является дополнением вероятности того, что нет происходят события, превышающие проектные пределы.

Уравнение для оценки этого параметра:

${ displaystyle { overline {R}} = 1- left (1- {1 over T} right) ^ {n} = 1- (1-P (X geq x_ {T})) ^ { n}}$

где

${ Displaystyle {1 над T} = P (X geq x_ {T})}$ - выражение вероятности наступления рассматриваемого события в году;

п ожидаемый срок службы конструкции.

Смотрите также

• 100-летнее наводнение
• Накопительный частотный анализ
• Частота превышения
• Время пребывания

Рекомендации