Теорема Римана – Роха для гладких многообразий. - Riemann–Roch theorem for smooth manifolds

В математика, а Теорема Римана – Роха для гладких многообразий. это версия результатов, таких как Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. или же Теорема Гротендика – Римана – Роха. (GRR) без гипотезы, делающей гладкие многообразия вовлеченные несут сложная структура. Такого рода результаты были получены Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух в 1959 г., сведя требования к чему-то вроде спиновая структура.

Формулировка

Позволять Икс и Y быть ориентированным гладко закрытые коллекторы,и ж: Икс → Y непрерывная карта. v_ж=ж^*(TY) − TX в K-группа K (X). Если dim (X) ≡ dim (Y) mod 2, то

${ Displaystyle mathrm {ch} (f_ {K *} (x)) = f_ {H *} ( mathrm {ch} (x) e ^ {d (v_ {f}) / 2} { hat { A}} (v_ {f})),}$

где ch это Черн персонаж, d (v_ж) элемент интеграла группа когомологий ЧАС²(Y, Z) удовлетворениеd(v_ж) ≡ ж^* ш₂(ТY)-ш₂(ТИкс) mod 2, f_{К *} то Гомоморфизм Гизина для K-теории и f_ЧАС* гомоморфизм Гизина для когомологий.^[1]Эта теорема была впервые доказана Атьей и Хирцебрухом.^[2]

Теорема доказывается рассмотрением нескольких частных случаев.^[3] Если Y это Пространство Тома векторного расслоения V над Икс, то отображения Гайсина - это просто изоморфизм Тома. принцип расщепления, достаточно проверить теорему явным вычислением для линейных расслоений.

Если ж: Икс → Y является вложением, то пространство Тома нормального расслоения Икс в Y можно рассматривать как трубчатую окрестность Иксв Y, а вырезание дает карту

${ displaystyle u: H ^ {*} (B (N), S (N)) к H ^ {*} (Y, Y-B (N)) to H ^ {*} (Y)}$

и

${ Displaystyle v: К (В (N), S (N)) к К (Y, Y-B (N)) к К (Y)}$.

Отображение Гайсина для K-теории / когомологий определяется как композиция изоморфизма Тома с этими отображениями, поскольку теорема верна для отображения из Икс в пространство Тома N, а так как характер Черна коммутирует с ты и v, теорема верна и для вложений.ж: Икс → Y.

Наконец, мы можем разложить на множители общую карту ж: Икс → Yв вложение

${ displaystyle i: от X до Y times S ^ {2n}}$

и проекция

${ displaystyle p: Y times S ^ {2n} to Y.}$

Теорема верна для вложения. Отображение Гайсина для проекции является изоморфизмом периодичности Ботта, который коммутирует с характером Черна, поэтому теорема верна и в этом общем случае.

Следствия

Затем Атья и Хирцебрух специализировались и уточняли дело Икс = точка, в которой условием становится существование спиновой структуры на Y. Следствия включены Понтрягина классы и J-гомоморфизм.

Примечания