Функция Розенброка - Rosenbrock function

График функции Розенброка двух переменных. Здесь ${displaystyle a = 1, b = 100}$, а минимальное значение нуля - при ${displaystyle (1,1)}$.

В математическая оптимизация, то Функция Розенброка не-выпуклая функция, представлен Говард Х. Розенброк в 1960 году, который используется как проблема теста производительности для оптимизации алгоритмы.^[1] Он также известен как Долина Розенброка или же Банановая функция Розенброка.

Глобальный минимум находится внутри длинного узкого параболический в форме плоской долины. Найти долину - тривиально. Сойтись к глобальному минимум Однако это сложно.

Функция определяется как

${displaystyle f (x, y) = (a-x) ^ {2} + b (y-x ^ {2}) ^ {2}}$

Его глобальный минимум составляет ${displaystyle (x, y) = (a, a ^ {2})}$, куда ${displaystyle f (x, y) = 0}$. Обычно эти параметры устанавливаются так, что ${displaystyle a = 1}$ и ${displaystyle b = 100}$. Только в тривиальном случае, когда ${displaystyle a = 0}$ функция симметрична, и минимум находится в начале координат.

Многомерные обобщения

Обычно встречаются два варианта.

Анимация функции трех переменных Розенброка. ^[2]

Один - это сумма ${displaystyle N / 2}$ несвязанных двухмерных задач Розенброка и определяется только для четных ${displaystyle N}$s:

${displaystyle f (mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {N}) = sum _ {i = 1} ^ {N / 2} left [100 (x_ {2i -1} ^ {2} -x_ {2i}) ^ {2} + (x_ {2i-1} -1) ^ {2} ight].}$^[3]

У этого варианта есть предсказуемо простые решения.

Второй, более сложный вариант:

${displaystyle f (mathbf {x}) = sum _ {i = 1} ^ {N-1} [100 (x_ {i + 1} -x_ {i} ^ {2}) ^ {2} + (1- x_ {i}) ^ {2}] quad {mbox {where}} quad mathbf {x} = (x_ {1}, ldots, x_ {N}) в mathbb {R} ^ {N}.}$^[4]

имеет ровно один минимум для ${displaystyle N = 3}$ (в ${displaystyle (1,1,1)}$) и ровно два минимума для ${displaystyle 4leq Nleq 7}$- глобальный минимум всех единиц и локальный минимум около ${displaystyle {hat {mathbf {x}}} = (- 1,1, точки, 1)}$. Этот результат получается путем установки градиента функции равным нулю с учетом того, что полученное уравнение является рациональной функцией ${displaystyle x}$. Для малых ${displaystyle N}$ полиномы могут быть определены точно и Теорема Штурма можно использовать для определения количества реальных корней, в то время как корни могут быть ограниченный в районе ${displaystyle | x_ {i} | <2,4}$.^[5] Для большего ${displaystyle N}$ этот метод не работает из-за размера задействованных коэффициентов.

Стационарные точки

Многие из стационарных точек функции при построении демонстрируют регулярный узор.^[5] Эту структуру можно использовать для их обнаружения.

Корни розенброка со структурой горба

Примеры оптимизации

Применение метода Нелдера-Мида к функции Розенброка

Функцию Розенброка можно эффективно оптимизировать путем адаптации соответствующей системы координат без использования каких-либо информация о градиенте и без построения локальных моделей аппроксимации (в отличие от многих оптимизаторов без производных). На следующем рисунке показан пример двумерной оптимизации функции Розенброка с помощьюадаптивный координатный спуск от отправной точки ${displaystyle x_ {0} = (- 3, -4)}$. Решение со значением функции ${displaystyle 10 ^ {- 10}}$ можно найти после 325 оценок функций.

С использованием Метод Нелдера – Мида от отправной точки ${displaystyle x_ {0} = (- 1,1)}$ при регулярном начальном симплексе минимум находится со значением функции ${displaystyle 1.36cdot 10 ^ {- 10}}$ после 185 оценок функций. На рисунке ниже показана эволюция алгоритма.

Смотрите также

• Тестовые функции для оптимизации

Рекомендации

внешняя ссылка

• График функции Розенброка в 3D
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Розенброка». MathWorld.