S-конечная мера - S-finite measure

В теория меры, раздел математики, изучающий обобщенные понятия объема, s-конечная мера это особый вид мера. S-конечная мера является более общей, чем конечная мера, но позволяет обобщить некоторые доказательства для конечных мер.

S-конечные меры не следует путать с σ-конечные (сигма-конечные) меры.

Определение

Позволять быть измеримое пространство и мера на этом измеримом пространстве. Мера называется s-конечной мерой, если ее можно записать как счетный сумма конечные меры (),[1]

Пример

В Мера Лебега является s-конечной мерой. Для этого установите

и определим меры к

для всех измеримых множеств . Эти меры конечны, поскольку для всех измеримых множеств , и по построению удовлетворяют

Следовательно, мера Лебега s-конечна.

Характеристики

Связь с σ-конечными мерами

Каждый σ-конечная мера s-конечна, но не всякая s-конечная мера также σ-конечна.

Чтобы показать, что каждая σ-конечная мера s-конечна, пусть быть σ-конечным. Тогда существуют измеримые непересекающиеся множества с и

Тогда меры

конечны и их сумма равна . Этот подход аналогичен приведенному выше примеру.

Пример для s-конечной меры, не являющейся σ-конечной, можно построить на множестве с σ-алгебра . Для всех , позволять быть счетная мера на этом измеримом пространстве и определим

Мера по построению s-конечна (так как считающая мера конечна на множестве с одним элементом). Но не является σ-конечным, поскольку

Так не может быть σ-конечным.

Эквивалентность вероятностным мерам

Для любой s-конечной меры , существует эквивалент вероятностная мера , означающий, что .[1] Одна возможная эквивалентная вероятностная мера дается формулой

Рекомендации

  1. ^ а б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 21. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.

Источники s-конечных мер

[1]

[2]

[3]

[4]

  1. ^ Фолкнер, Нил (2009). «Обзоры». Американский математический ежемесячный журнал. 116 (7): 657–664. Дои:10.4169 / 193009709X458654. ISSN  0002-9890.
  2. ^ Олав Калленберг (12 апреля 2017 г.). Случайные меры, теория и приложения. Springer. ISBN  978-3-319-41598-7.
  3. ^ Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (26 октября 2017 г.). Лекции о пуассоновском процессе. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-08801-6.
  4. ^ Р.К. Getoor (6 декабря 2012 г.). Чрезмерные меры. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-3470-8.