S-конечная мера - S-finite measure
Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка.Январь 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
В теория меры, раздел математики, изучающий обобщенные понятия объема, s-конечная мера это особый вид мера. S-конечная мера является более общей, чем конечная мера, но позволяет обобщить некоторые доказательства для конечных мер.
S-конечные меры не следует путать с σ-конечные (сигма-конечные) меры.
Определение
Позволять быть измеримое пространство и мера на этом измеримом пространстве. Мера называется s-конечной мерой, если ее можно записать как счетный сумма конечные меры (),[1]
Пример
В Мера Лебега является s-конечной мерой. Для этого установите
и определим меры к
для всех измеримых множеств . Эти меры конечны, поскольку для всех измеримых множеств , и по построению удовлетворяют
Следовательно, мера Лебега s-конечна.
Характеристики
Связь с σ-конечными мерами
Каждый σ-конечная мера s-конечна, но не всякая s-конечная мера также σ-конечна.
Чтобы показать, что каждая σ-конечная мера s-конечна, пусть быть σ-конечным. Тогда существуют измеримые непересекающиеся множества с и
Тогда меры
конечны и их сумма равна . Этот подход аналогичен приведенному выше примеру.
Пример для s-конечной меры, не являющейся σ-конечной, можно построить на множестве с σ-алгебра . Для всех , позволять быть счетная мера на этом измеримом пространстве и определим
Мера по построению s-конечна (так как считающая мера конечна на множестве с одним элементом). Но не является σ-конечным, поскольку
Так не может быть σ-конечным.
Эквивалентность вероятностным мерам
Для любой s-конечной меры , существует эквивалент вероятностная мера , означающий, что .[1] Одна возможная эквивалентная вероятностная мера дается формулой
Рекомендации
- ^ а б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 21. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
Источники s-конечных мер
- ^ Фолкнер, Нил (2009). «Обзоры». Американский математический ежемесячный журнал. 116 (7): 657–664. Дои:10.4169 / 193009709X458654. ISSN 0002-9890.
- ^ Олав Калленберг (12 апреля 2017 г.). Случайные меры, теория и приложения. Springer. ISBN 978-3-319-41598-7.
- ^ Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (26 октября 2017 г.). Лекции о пуассоновском процессе. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-08801-6.
- ^ Р.К. Getoor (6 декабря 2012 г.). Чрезмерные меры. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8.