Алгоритм SPIKE - SPIKE algorithm

В Алгоритм SPIKE это гибрид параллельно решатель для полосатый линейные системы разработан Эриком Полицци и Ахмед Самех^[1]^ ^[2]

Обзор

Алгоритм SPIKE работает с линейной системой ТОПОР = F, куда А это полосатый ${displaystyle n imes n}$ матрица пропускная способность намного меньше чем ${displaystyle n}$, и F является ${displaystyle n imes s}$ матрица, содержащая ${displaystyle s}$ правые части. Он разделен на этап предварительной обработки и этап постобработки.

Стадия предварительной обработки

На этапе предварительной обработки линейная система ТОПОР = F разделен на блок трехдиагональный форма

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {A}} _ {1} & {oldsymbol {B}} _ {1} {oldsymbol {C}} _ ​​{2} & {oldsymbol {A}} _ {2} & {oldsymbol {B}} _ {2} & ddots & ddots & ddots && {oldsymbol {C}} _ ​​{p-1} & {oldsymbol {A}} _ {p-1} & {oldsymbol {B}} _ {p-1} &&& {oldsymbol {C}} _ ​​{p} & {oldsymbol {A}} _ {p} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} { oldsymbol {X}} _ {2} vdots {oldsymbol {X}} _ {p-1} {oldsymbol {X}} _ {p} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {F }} _ {1} {oldsymbol {F}} _ {2} vdots {oldsymbol {F}} _ {p-1} {oldsymbol {F}} _ {p} end {bmatrix}}.}$

Предположим пока, что диагональные блоки А_j (j = 1,...,п с п ≥ 2) находятся неособый. Определить диагональ блока матрица

D = диаг (А₁,...,А_п),

тогда D также неособое. Левое умножение D⁻¹ обеим сторонам системы дает

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} & {oldsymbol {V}} _ {1} {oldsymbol {W}} _ {2} & {oldsymbol {I}} & {oldsymbol {V}} _ {2} & ddots & ddots & ddots && {oldsymbol {W}} _ {p-1} & {oldsymbol {I}} & {oldsymbol {V}} _ {p-1} &&& {oldsymbol {W}} _ {p} & {oldsymbol {I}} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} {oldsymbol {X}} _ {2} vdots {oldsymbol {X}} _ {p-1} {oldsymbol {X}} _ {p} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {1} {oldsymbol {G}} _ {2} vdots {oldsymbol {G}} _ {p-1} {oldsymbol {G}} _ {p} end {bmatrix}},}$

которое необходимо решить на этапе постобработки. Левое умножение на D⁻¹ эквивалентно решению ${displaystyle p}$ системы формы

А_j[V_j W_j грамм_j] = [B_j C_j F_j]

(опуская W₁ и C₁ за ${displaystyle j = 1}$, и V_п и B_п за ${displaystyle j = p}$), которые можно проводить параллельно.

Из-за полосатой природы А, только несколько крайних левых столбцов каждого V_j и несколько крайних правых столбцов каждого W_j может быть ненулевым. Эти столбцы называются шипы.

Этап постобработки

Не теряя общий смысл, предположим, что каждый шип содержит ровно ${displaystyle m}$ столбцы (${displaystyle m}$ намного меньше чем ${displaystyle n}$) (при необходимости заполните шип колонками с нулями). Разделите шипы на все V_j и W_j в

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {V}} _ {j} ^ {(t)} {oldsymbol {V}} _ {j} ' {oldsymbol {V}} _ {j} ^ {(b )} конец {bmatrix}}}$ и ${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {W}} _ {j} ^ {(t)} {oldsymbol {W}} _ {j} ' {oldsymbol {W}} _ {j} ^ {(b )} end {bmatrix}}}$

куда V (т)
j , V (б)
j , W (т)
j  и W (б)
j  имеют размеры ${displaystyle m imes m}$. Разделить все аналогично Икс_j и грамм_j в

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {j} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {j} ' {oldsymbol {X}} _ {j} ^ {(b )} конец {bmatrix}}}$ и ${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {j} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {j} ' {oldsymbol {G}} _ {j} ^ {(b )} end {bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что система, созданная на этапе предварительной обработки, может быть сокращена до блока пятиугольник система гораздо меньшего размера (напомним, что ${displaystyle m}$ намного меньше чем ${displaystyle n}$)

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {0}} & { oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2 } ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {(t)} & {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {(b)} & {oldsymbol {0 }} && ddots & ddots & ddots & ddots & ddots &&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {p-1} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol { 0}} & {oldsymbol {V}} _ {p-1} ^ {(t)} &&&& {oldsymbol {W}} _ {p-1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {p-1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} &&&&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W} } _ {p} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} &&&&&& {oldsymbol {W}} _ {p} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ { 1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {X} } _ {p-1} ^ {(t)} {olds символ {X}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {p} ^ {(b) } end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {G }} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {( б)} конец {bmatrix}} {ext {,}}}$

которую мы называем редуцированная система и обозначим через S̃X̃ = ГРАММ.

Однажды все Икс (т)
j  и Икс (б)
j  найдены, все Икс′_j может быть восстановлен с идеальным параллелизмом через

${displaystyle {egin {cases} {oldsymbol {X}} _ {1} '= {oldsymbol {G}} _ {1}' - {oldsymbol {V}} _ {1} '{oldsymbol {X}} _ { 2} ^ {(t)} {ext {,}} {oldsymbol {X}} _ {j} '= {oldsymbol {G}} _ {j}' - {oldsymbol {V}} _ {j} ' {oldsymbol {X}} _ {j + 1} ^ {(t)} - ​​{oldsymbol {W}} _ {j} '{oldsymbol {X}} _ {j-1} ^ {(b)} {ext {,}} & j = 2, ldots, p-1 {ext {,}} {oldsymbol {X}} _ {p} '= {oldsymbol {G}} _ {p}' - {oldsymbol {W}} _ {p} {oldsymbol {X}} _ {p-1} ^ {(b)} {ext {.}} end {case}}}$

SPIKE как решатель полиалгоритмических ленточных линейных систем

Несмотря на то, что алгоритм SPIKE логически разделен на два этапа, в вычислительном отношении он состоит из трех этапов:

1. факторизация диагональные блоки,
2. вычисление шипов,
3. решение редуцированной системы.

Каждый из этих этапов может быть выполнен несколькими способами, что позволяет использовать множество вариантов. Два примечательных варианта: рекурсивный СПАЙК алгоритм для не-диагонально-доминантный дела и усеченный шип алгоритм для диагонально-доминирующих случаев. В зависимости от варианта, система может быть решена либо точно, либо приблизительно. В последнем случае SPIKE используется как прекондиционер для итерационных схем, таких как Методы подпространства Крылова и итеративное уточнение.

Рекурсивный СПАЙК

Стадия предварительной обработки

Первым шагом этапа предварительной обработки является факторизация диагональных блоков. А_j. Для численной устойчивости можно использовать ЛАПАК с XGBTRF процедуры для LU факторизовать их с частичным поворотом. В качестве альтернативы их можно также разложить на множители без частичного поворота, но с помощью стратегии «диагонального повышения». Последний метод решает проблему сингулярных диагональных блоков.

Конкретно стратегия диагонального повышения заключается в следующем. Позволять 0_ε обозначают конфигурируемый "машинный нуль". На каждом этапе факторизации LU мы требуем, чтобы стержень удовлетворял условию

| стержень | > 0_ε‖А‖₁.

Если точка поворота не удовлетворяет условию, она увеличивается на

${displaystyle mathrm {pivot} = {egin {cases} mathrm {pivot} + epsilon lVert {oldsymbol {A}} _ {j} Vert _ {1} & {ext {if}} mathrm {pivot} geq 0 {ext { ,}} mathrm {pivot} -epsilon lVert {oldsymbol {A}} _ {j} Vert _ {1} & {ext {if}} mathrm {pivot} <0end {case}}}$

куда ε - положительный параметр, зависящий от округление единицы, и факторизация продолжается с увеличенной точкой поворота. Этого можно добиться с помощью модифицированных версий ScaLAPACK с XDBTRF рутины. После факторизации диагональных блоков вычисляются пики и передаются на этап постобработки.

Этап постобработки

Двухсекционный корпус

В двухраздельном случае, т. Е. Когда п = 2, редуцированная система S̃X̃ = ГРАММ имеет форму

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {0}} & { oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2 } ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ { (b)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(b)} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} { oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(b)} конец {bmatrix}} {ext {.}}}$

Из центра можно извлечь еще меньшую систему:

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(t) } & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(t)} конец {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(t)} конец {bmatrix}} {ext {,}}}$

который можно решить с помощью блочная факторизация LU

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(t) } & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} & {oldsymbol {I}} _ {m} - {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} end {bmatrix}} {ext {.}}}$

Один раз Икс (б)
1  и Икс (т)
2  найдены, Икс (т)
1  и Икс (б)
2  можно вычислить через

Икс (т)
1  = грамм (т)
1  − V (т)
1 Икс (т)
2 ,

Икс (б)
2  = грамм (б)
2  − W (б)
2 Икс (б)
1 .

Многосекционный корпус

Предположить, что п является степенью двойки, т.е. п = 2^d. Рассмотрим блочно-диагональную матрицу

D̃₁ = диаг (D̃ [1]
1 ,...,D̃ [1]
п/2 )

куда

${displaystyle {oldsymbol {ilde {D}}} _ {k} ^ {[1]} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}) } _ {2k-1} ^ {(t)} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {2k-1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2k} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2k} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}}}$

за k = 1,...,п/2. Заметь D̃₁ по существу состоит из диагональных блоков порядка 4м извлечен из S̃. Теперь факторизуем S̃ в качестве

S̃ = D̃₁S̃₂.

Новая матрица S̃₂ имеет форму

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {3m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {[2] (t)} {oldsymbol {0}) } & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0}} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol { W}} _ {2} ^ {[2] (t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {[2] (t)} & {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {3m} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0}} && ddots & ddots & ddots & ddots & ddots &&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {p / 2-1} ^ {[2] (t)} & {oldsymbol {I}} _ {3m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {p / 2-1} ^ {[2] (t)} &&&& {oldsymbol {W}} _ {p / 2-1} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {p / 2-1} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0}} &&&&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {p / 2} ^ {[2] (t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} &&&&&& {oldsymbol {W}} _ {p / 2} ^ {[2] (b)} & {oldsymbol {0} }} & {oldsymbol {I}} _ {3m} end {bmatrix}} {ext {.}}}$

Его структура очень похожа на структуру S̃₂, различаются только количеством шипов и их высотой (ширина остается неизменной на м). Таким образом, аналогичный шаг факторизации может быть выполнен на S̃₂ производить

S̃₂ = D̃₂S̃₃

и

S̃ = D̃₁D̃₂S̃₃.

Такие шаги факторизации можно выполнять рекурсивно. После d − 1 шагов, получаем факторизацию

S̃ = D̃₁⋯D̃_d−1S̃_d,

куда S̃_d имеет всего два шипа. Уменьшенная система затем будет решена через

ИКС = S̃ −1
d D̃ −1
d−1 ⋯D̃ −1
1 ГРАММ.

Техника блочной LU-факторизации в случае двух разделов может использоваться для обработки шагов решения, включающих D̃₁, ..., D̃_d−1 и S̃_d поскольку они по существу решают несколько независимых систем обобщенных двухраздельных форм.

Обобщение на случаи, когда п не степень двойки, почти тривиально.

Усеченный шип

Когда А диагонально-доминирующая, в редуцированной системе

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {0}} & { oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {2 } ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {(t)} & {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ {(b)} & {oldsymbol {0 }} && ddots & ddots & ddots & ddots & ddots &&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W}} _ {p-1} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol { 0}} & {oldsymbol {V}} _ {p-1} ^ {(t)} &&&& {oldsymbol {W}} _ {p-1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {p-1} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} &&&&& {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {W} } _ {p} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {0}} &&&&&& {oldsymbol {W}} _ {p} ^ {(b)} & {oldsymbol {0}} & {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ { 1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {X} } _ {p-1} ^ {(t)} {olds символ {X}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {p} ^ {(b) } end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {G }} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {( б)} конец {bmatrix}} {ext {,}}}$

блоки V (т)
j  и W (б)
j  часто незначительны. Без них сокращенная система становится блочно-диагональной.

${displaystyle {egin {bmatrix} {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {1} ^ {(b)} & {oldsymbol {W}} _ {2} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} &&& {oldsymbol {I}} _ {m} & {oldsymbol {V}} _ {2} ^ { (b)} &&& ddots & ddots & ddots &&&& {oldsymbol {W}} _ {p-1} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} &&&&&&& {oldsymbol {I}} _ {m } & {oldsymbol {V}} _ {p-1} ^ {(b)} &&&&&& {oldsymbol {W}} _ {p} ^ {(t)} & {oldsymbol {I}} _ {m} &&&&&&&& {oldsymbol {I}} _ {m} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {1} ^ { (b)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {X}} _ {p -1} ^ {(t)} {oldsymbol {X}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {X}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {X }} _ {p} ^ {(b)} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {2} ^ {(b)} vdots {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p-1} ^ {(b)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {(t)} {oldsymbol {G}} _ {p} ^ {(b)} конец {bmatrix}}}$

и может быть легко решена параллельно ^[3].

Усеченный алгоритм SPIKE может быть заключен в некоторую внешнюю итеративную схему (например, BiCGSTAB или же итеративное уточнение ) для повышения точности решения.

ШИПКА для трехдиагональных систем

Первое разбиение и алгоритм SPIKE были представлены в ^[4] и был разработан как средство улучшения свойств устойчивости параллельного решателя на основе вращений Гивенса для трехдиагональных систем. Версия алгоритма, называемая g-Spike, основанная на последовательном вращении Гивенса, применяемом независимо к каждому блоку, была разработана для графического процессора NVIDIA. ^[5]. Алгоритм на основе SPIKE для графического процессора, основанный на специальной стратегии поворота по диагонали блока, описан в ^[6].

SPIKE как прекондиционер

Алгоритм SPIKE также может функционировать как предварительное условие для итерационных методов решения линейных систем. Решить линейную систему Топор = б с помощью итеративного решателя с предварительным условием SPIKE извлекаются центральные полосы из А сформировать полосатый прекондиционер M и решает линейные системы с участием M в каждой итерации с алгоритмом SPIKE.

Чтобы предварительное кондиционирование было эффективным, обычно требуется перестановка строк и / или столбцов для перемещения «тяжелых» элементов А близко к диагонали, чтобы они были покрыты предобуславливателем. Этого можно добиться, вычислив взвешенная спектральная переупорядоченность из А.

Алгоритм SPIKE можно обобщить, не ограничивая строгую привязку предобуславливателя. В частности, диагональный блок в каждом разделе может быть общей матрицей и, таким образом, обрабатываться прямым решателем общей линейной системы, а не ленточным решателем. Это усиливает предварительную подготовку и, следовательно, увеличивает шансы на сходимость и сокращает количество итераций.

Реализации

Intel предлагает реализацию алгоритма SPIKE под названием Intel Adaptive Spike-based Solver ^[7]. Трехдиагональные решатели также были разработаны для графического процессора NVIDIA. ^[8][9] и сопроцессоры Xeon Phi. Метод в ^[10] является основой трехдиагонального решателя в библиотеке cuSPARSE.^[1] Решатель на основе вращений Гивенса также был реализован для графического процессора и Intel Xeon Phi.^[2]

Рекомендации

1. ^ Polizzi, E .; Самех, А. Х. (2006). «Решатель параллельной гибридной ленточной системы: алгоритм SPIKE». Параллельные вычисления. 32 (2): 177–194. Дои:10.1016 / j.parco.2005.07.005.
2. ^ Polizzi, E .; Самех, А. Х. (2007). «SPIKE: Параллельная среда для решения полосовых линейных систем». Компьютеры и жидкости. 36: 113–141. Дои:10.1016 / j.compfluid.2005.07.005.
3. ^ Mikkelsen, C.C.K .; Мангуоглу, М. (2008). «Анализ алгоритма усеченного SPIKE». SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30 (4): 1500–1519. CiteSeerX  10.1.1.514.8748. Дои:10.1137/080719571.
4. ^ Manguoglu, M .; Sameh, A.H .; Шенк, О. (2009). «PSPIKE: параллельный гибридный решатель разреженных линейных систем». Конспект лекций по информатике. 5704: 797–808. Bibcode:2009LNCS.5704..797M. Дои:10.1007/978-3-642-03869-3_74. ISBN  978-3-642-03868-6.
5. ^ "Intel Adaptive Spike-based Solver - Intel Software Network". Получено 2009-03-23.
6. ^ Sameh, A.H .; Кук, Д. Дж. (1978). "Об устойчивых параллельных решателях линейных систем". Журнал ACM. 25: 81–91. Дои:10.1145/322047.322054.
7. ^ Venetis, I.E .; Курис, А .; Собчик, А .; Gallopoulos, E .; Самех, А. Х. (2015). «Прямой трехдиагональный решатель, основанный на вращении Гивенса для архитектур GPU». Параллельные вычисления. 25: 101–116. Дои:10.1016 / j.parco.2015.03.008.
8. ^ Chang, L.-W .; Stratton, J .; Kim, H .; Hwu, W.-M. (2012). «Масштабируемый, численно стабильный, высокопроизводительный трехдиагональный решатель с использованием графических процессоров». Proc. Int'l. Конф. Высокопроизводительные вычисления, сетевое хранилище и анализ (SC'12). Лос-Аламитос, Калифорния, США: IEEE Computer Soc. Пресса: 27: 1–27: 11. ISBN  978-1-4673-0804-5.

дальнейшее чтение

• Gallopoulos, E .; Philippe, B .; Самех, А.Х. (2015). Параллелизм в матричных вычислениях. Springer. ISBN  978-94-017-7188-7.