Изоморфизм сатаке - Satake isomorphism

В математике Изоморфизм сатаке, представлен Ичиро Сатаке  (1963 ), определяет Алгебра Гекке из восстановительная группа через местное поле с кольцом инвариантов Группа Вейля. В геометрическая эквивалентность Сатаке является геометрической версией изоморфизма Сатаке, доказанной Иваном Мирковичем и Кари Вилонен  (2007 ).

Заявление

Классический изоморфизм СатакеПозволять ${ displaystyle G}$ быть полупростая алгебраическая группа, ${ displaystyle K}$ неархимедово локальное поле и ${ displaystyle O}$ его кольцо целых чисел. Это легко увидеть ${ Displaystyle Gr = G (K) / G (O)}$ является Grassmannian. Для простоты мы можем думать, что ${ Displaystyle К = mathbb {Z} / п mathbb {Z} ((х))}$ и ${ Displaystyle О = mathbb {Z} / п mathbb {Z} [[x]]}$, ${ displaystyle p}$ простое число; в этом случае, ${ displaystyle Gr}$ является бесконечномерным алгебраическое многообразие (Гинзбург 2000 ). Один обозначает категорию всех с компактным носителем. сферические функции на ${ Displaystyle G (K)}$ биинвариантный под действием ${ Displaystyle G (O)}$ в качестве ${ Displaystyle mathbb {C} _ {c} [G (O) обратная косая черта G (K) / G (O)]}$, ${ Displaystyle mathbb {C}}$ поле комплексных чисел, которое является Алгебра Гекке и может также рассматриваться как групповая схема над ${ Displaystyle mathbb {C}}$. Позволять ${ Displaystyle Т ( mathbb {C})}$ - максимальный тор ${ Displaystyle G ( mathbb {C})}$, ${ displaystyle W}$ быть Группа Вейля из ${ displaystyle G}$. можно связать множество кохарактеров ${ Displaystyle mathbb {X} _ {*} (Т ( mathbb {C}))}$ к ${ Displaystyle Т ( mathbb {C})}$. Позволять ${ Displaystyle X _ {*} (Т ( mathbb {C}))}$ быть множеством всех сохарактеров ${ Displaystyle Т ( mathbb {C})}$, т.е. ${ Displaystyle X _ {*} (T ( mathbb {C})) = Hom ( mathbb {C} ^ {*}, T ( mathbb {C}))}$. Разнообразие сохарактеров ${ Displaystyle mathbb {X} _ {*} (Т ( mathbb {C}))}$ в основном групповая схема создан путем добавления элементов ${ Displaystyle X _ {*} (Т ( mathbb {C}))}$ как переменные для ${ Displaystyle mathbb {C}}$, т.е. ${ Displaystyle mathbb {X} _ {*} (T ( mathbb {C})) = mathbb {C} [X _ {*} (T ( mathbb {C}))]}$. Есть естественное действие ${ displaystyle W}$ на разнообразии сохарактеров ${ Displaystyle mathbb {X} _ {*} (Т ( mathbb {C}))}$, индуцированные естественным действием ${ displaystyle W}$ на ${ displaystyle T}$. Тогда изоморфизм Сатаке является изоморфизмом алгебр из категории сферические функции к ${ displaystyle W}$-инвариантная часть вышеупомянутого разнообразия сохарактеров. В формулах:

Геометрический изоморфизм СатакеКак сказал Гинзбург (Гинзбург 2000 ), «геометрический» означает теоретико-пучковый. Чтобы получить геометрическую версию изоморфизма Сатаке, нужно изменить левую часть изоморфизма, используя группу Гротендика категории извращенные снопы на ${ displaystyle Gr}$ заменить категорию сферические функции; замена де-факто является изоморфизмом алгебр над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ (Гинзбург 2000 ). Также нужно заменить правую часть изоморфизма на Группа Гротендик конечномерных комплексных представлений Лэнглендс двойной ${ displaystyle {} ^ {L} G}$ из ${ displaystyle G}$; замена также является изоморфизмом алгебр над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ (Гинзбург 2000 ). Позволять ${ displaystyle Perv (Gr)}$ обозначают категорию извращенная связка на ${ displaystyle Gr}$. Тогда геометрический изоморфизм Сатаке равен

где ${ displaystyle K}$ в ${ displaystyle K (Rep ({} ^ {L} G))}$ стоит за Группа Гротендик. Очевидно, это можно упростить до

который a fortiori является эквивалентом таннакианские категории (Гинзбург 2000 ).

Примечания

Рекомендации

• Гросс, Бенедикт Х. (1998), "Об изоморфизме Сатаке", Представления Галуа в арифметической алгебраической геометрии (Дарем, 1996), Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 254, Издательство Кембриджского университета, стр. 223–237, Дои:10.1017 / CBO9780511662010.006, МИСТЕР  1696481
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), "Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами", Анналы математики, Вторая серия, 166 (1): 95–143, arXiv:математика / 0401222, Дои:10.4007 / анналы.2007.166.95, ISSN  0003-486X, МИСТЕР  2342692
• Сатаке, Ичиро (1963), «Теория сферических функций на редуктивных алгебраических группах над p-адическими полями», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (18): 5–69, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  0195863
• Гинзбург, Виктор (2000). «Извращенные пучки на группе петель и двойственность Ленглендса». arXiv:alg-geom / 9511007.CS1 maint: ref = harv (связь)