Поток Шнайдера - Википедия - Schneider flow

Поток Шнайдера представляет собой осесимметричный поток, создаваемый ламинарной или турбулентной струей (с большой струей Число Рейнольдса или ламинарным шлейфом (с большим шлейфом Число Грасгофа ), в котором жидкая область ограничена стенкой. Решение является точным решением Уравнения Навье-Стокса, обнаруженный Вильгельмом Шнайдером в 1981 г.^[1]. Решение было открыто также А.А. Голубинским и В.В. Сычевым в 1979 г.^[2][3] однако никогда не применялся к потокам, увлекаемым струями. Решение является расширением решения Тейлора для потенциального потока.^[4] произвольно Число Рейнольдса.

Математическое описание

Для ламинарных или турбулентных струй, а также для ламинарных струй объемная скорость развлечения на единицу осевой длины постоянна, что можно увидеть из решения Струя Schlichting и Йих шлейф. Таким образом, струю или шлейф можно рассматривать как сток звена, как это было впервые сделано Г. И. Тейлор и эта раковина будет выводить жидкость за пределы струи или факела. До Шнайдера предполагалось, что это внешнее движение жидкости также является потоком с большим числом Рейнольдса, следовательно, внешнее движение жидкости предполагается решением потенциального потока, которое было решено с помощью Г. И. Тейлор в 1958 г. Для турбулентного шлейфа унос непостоянен, тем не менее, внешний флюид все еще регулируется решением Тейлорса.

Хотя решение Тейлора по-прежнему верно для турбулентной струи, для ламинарной струи или ламинарного факела, эффективное число Рейнольдса для внешней жидкости оказывается порядка единицы, поскольку в этих случаях сток так развлекает, что поток не является невязким. В этом случае необходимо решить полные уравнения Навье-Стокса для внешнего движения жидкости, и в то же время, поскольку жидкость ограничена снизу твердой стенкой, решение должно удовлетворять условию противоскольжения. Шнайдер получил автомодельное решение для этого внешнего движения жидкости, которое, естественно, сводилось к решению потенциального потока Тейлора по мере увеличения скорости уноса стоком линии.

Предположим, что коническая стенка из полуугла ${ displaystyle alpha}$ с полярной осью вдоль оси конуса и предположим, что вершина твердого конуса находится в начале сферических координат ${ Displaystyle (г, тета, фи)}$ вдоль отрицательной оси. Теперь поместите линейный сток вдоль положительной стороны полярной оси. Установите этот путь, ${ Displaystyle альфа = пи / 2}$ представляет собой обычный случай плоской стенки с струей или шлейфом, выходящим из источника. Дело ${ Displaystyle альфа = пи}$ соответствует струе / шлейфу, выходящему из тонкой форсунки. Течение осесимметричное с нулевым азимутальным движением, т.е. компоненты скорости равны ${ displaystyle (v_ {r}, v _ { theta}, 0)}$. Обычный метод изучения потока - введение Функция потока Стокса ${ displaystyle psi}$ такой, что

${ displaystyle v_ {r} = { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { partial psi} { partial theta}}, quad v _ { theta} = - { frac {1} {r sin theta}} { frac { partial psi} { partial r}}.}$

Представляем ${ Displaystyle хи = соз тета}$ как замена ${ displaystyle theta}$ и вводя автомодельную форму ${ Displaystyle psi = К ню рф ( xi)}$ в осесимметричные уравнения Навье-Стокса, получаем^[5]

${ displaystyle K ^ {- 1} [(1- xi ^ {2}) f '' '' - 4 xi f '' '] - ff' '' - 3f'f '' = 0.}$

где постоянная ${ displaystyle K}$ такова, что объемная скорость уноса на единицу осевой длины равна ${ Displaystyle 2 пи К ню}$. Для ламинарной струи ${ displaystyle K = 4}$ а для ламинарного шлейфа это зависит от Число Прандтля ${ displaystyle Pr}$, например с ${ displaystyle Pr = 1}$, у нас есть ${ displaystyle K = 6}$ и с ${ displaystyle Pr = 2}$, у нас есть ${ displaystyle K = 4}$. Для турбулентной струи эта константа является порядком числа Рейнольдса струи, которое является большим числом.

Вышеприведенное уравнение легко сводится к Уравнение Риккати путем трехкратного интегрирования, процедура такая же, как в Джет Ландау – Сквайра (главное отличие струи Ландау-Сквайра от текущей задачи - это граничные условия). Граничные условия на конической стенке ${ Displaystyle xi = xi _ {w} = соз альфа}$ становиться

${ Displaystyle е ( xi _ {w}) = f '( xi _ {w}) = 0}$

и вдоль линии раковина ${ Displaystyle xi = 1}$, у нас есть

${ displaystyle f (1) = 1, quad lim _ { xi rightarrow 1} (1- xi) ^ {1/2} f '' rightarrow 0.}$

Отсюда проблема решена численно.

Потенциальный поток Тейлора

Для турбулентной струи, ${ displaystyle K gg 1}$, линейными членами в уравнении можно пренебречь везде, кроме небольшого пограничного слоя вдоль стенки. Тогда, пренебрегая условиями противоскольжения на стене, решение дается выражением

${ displaystyle f = { frac { xi - xi _ {w}} {1- xi _ {w}}}.}$

Прочие соображения

Точное решение решений Навье-Стокса было экспериментально проверено Заунером в 1985 г.^[6]. Дальнейший анализ^[7][8] показали, что осевой поток импульса медленно спадает вдоль оси в отличие от Струя Schlichting решение, и обнаружено, что поток Шнайдера становится недействительным, когда расстояние от начала координат увеличивается до расстояния порядка экспоненты квадрата числа Рейнольдса струи, таким образом, область применимости решения Шнайдера увеличивается с увеличением числа Рейнольдса струи.

Наличие завихрения

Наличие закрученного движения, т.е. ${ displaystyle v _ { phi} neq 0}$ показано, что не влияет на осевое движение, определяемое ${ Displaystyle psi = К ню рф ( xi)}$ при условии ${ Displaystyle К сим О (1)}$. Если ${ displaystyle K}$ очень большой, наличие завихрения полностью меняет движение в осевой плоскости. За ${ Displaystyle К сим О (1)}$, азимутальное решение может быть решено в терминах циркуляции ${ displaystyle 2 pi Gamma}$, куда ${ Displaystyle Гамма = г грех тета v _ { phi}}$. Решение можно описать в терминах автомодельное решение второго рода, ${ Displaystyle Gamma = Ar ^ { lambda} Lambda ( xi)}$, куда ${ displaystyle A}$ неизвестная константа и ${ displaystyle lambda}$ - собственное значение. Функция ${ Displaystyle Lambda ( xi)}$ удовлетворяет

${ displaystyle K ^ {- 1} [(1- xi ^ {2}) Lambda '' + lambda ( lambda -1) Lambda] -f Lambda '+ lambda f' Lambda = 0 }$

при граничных условиях ${ displaystyle Lambda ( xi _ {w}) = 0}$ и ${ Displaystyle (1- xi) ^ {1/2} Lambda ' rightarrow 0}$ в качестве ${ displaystyle xi rightarrow 1}$.

Смотрите также

• Джет Ландау – Сквайра
• Струя Schlichting

Рекомендации