Функция потока Стокса - Stokes stream function

Обтекает вокруг сфера в осесимметричный Стокса поток. В предельная скорость то сила сопротивления F_d уравновешивает силу F_грамм продвижение объекта.

В динамика жидкостей, то Функция потока Стокса используется для описания рационализирует и скорость потока в трехмерном несжимаемый поток с осесимметрия. Поверхность с постоянным значением функции тока Стокса охватывает струйная трубка, повсюду касательный векторам скорости потока. Далее объем поток внутри этой трубки тока постоянна, и все линии тока потока расположены на этой поверхности. В поле скорости связанный с функцией потока Стокса, соленоидный - у него ноль расхождение. Эта функция потока названа в честь Джордж Габриэль Стоукс.

Цилиндрические координаты

Точка с цилиндрическими координатами.

Рассмотрим цилиндрическая система координат ( ρ , φ , z ), с z- ось осесимметричного течения несжимаемой жидкости, φ то азимутальный угол и ρ расстояние до z-ось. Тогда компоненты скорости потока ты_ρ и ты_z можно выразить через функцию тока Стокса ${ displaystyle Psi}$ к:^[1]

{ displaystyle { begin {align} u _ { rho} & = - { frac {1} { rho}} , { frac { partial Psi} { partial z}}, u_ { z} & = + { frac {1} { rho}} , { frac { partial Psi} { partial rho}}. end {align}}}

Азимутальная составляющая скорости ты_φ не зависит от функции потока. Вследствие осесимметрии все три составляющие скорости (ты_ρ , ты_φ , ты_z ) зависит только от ρ и z а не по азимуту φ.

Объемный поток через поверхность, ограниченный постоянным значением ψ функции тока Стокса, равно 2π ψ.

Сферические координаты

Точка, построенная в сферической системе координат

В сферические координаты ( р , θ , φ ), р это радиальное расстояние от источник, θ это зенитный угол и φ это азимутальный угол. В осесимметричном потоке с θ = 0 ось симметрии вращения, величины, описывающие течение, снова не зависят от азимута φ. Составляющие скорости потока ты_р и ты_θ связаны с функцией тока Стокса ${ displaystyle Psi}$ через:^[2]

{ displaystyle { begin {align} u_ {r} & = + { frac {1} {r ^ {2} , sin theta}} , { frac { partial Psi} { partial theta}}, u _ { theta} & = - { frac {1} {r , sin theta}} , { frac { partial Psi} { partial r}}. конец {выровнен}}}

Опять же, азимутальная составляющая скорости ты_φ не является функцией функции тока Стокса ψ. Объемный поток через струйную трубку, ограниченную поверхностью постоянного ψ, равно 2π ψ, как прежде.

Завихренность

В завихренность определяется как:

{ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times { boldsymbol {u}} = nabla times nabla times { boldsymbol { psi}}}

, куда

{ displaystyle { boldsymbol { psi}} = - { frac { Psi} {r sin theta}} { boldsymbol { hat { phi}}},}

с ${ displaystyle { boldsymbol { hat { phi}}}}$ то единичный вектор в ${ displaystyle phi ,}$ -направление.

Вывод завихренности

{ displaystyle { boldsymbol { omega}}}

с использованием функции потока Стокса

Рассмотрим завихренность, как определено

{ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times { boldsymbol {u}}.}

Из определения локон в сферических координатах:

{ displaystyle { begin {align} omega _ {r} & = {1 over r sin theta} left ({ partial over partial theta} left (u _ { phi} sin theta right) - { partial u _ { theta} over partial phi} right) { boldsymbol { hat {r}}}, omega _ { theta} & = {1 над r} left ({1 over sin theta} { partial u_ {r} over partial phi} - { partial over partial r} left (ru _ { phi} right) right) { boldsymbol { hat { theta}}}, omega _ { phi} & = {1 over r} left ({ partial over partial r} left (ru_ { theta} right) - { partial u_ {r} over partial theta} right) { boldsymbol { hat { phi}}}. end {align}}}

Сначала обратите внимание, что ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle theta}$ компоненты равны 0. Во-вторых, заменить ${ displaystyle u_ {r}}$ и ${ displaystyle u _ { theta}}$ в ${ displaystyle omega _ { phi}.}$ Результат:

{ displaystyle { begin {align} omega _ {r} & = 0, omega _ { theta} & = 0, omega _ { phi} & = {1 over r} left ({ partial over partial r} left (r left (- { frac {1} {r sin theta}} { frac { partial Psi} { partial r}} right ) right) - { partial over partial theta} left ({ frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta }} right) right). end {выравнивается}}}

Далее выполняется следующая алгебра:

{ displaystyle { begin {align} omega _ { phi} & = {1 over r} left (- { frac {1} { sin theta}} left ({ partial over частичное r} left ({ frac { partial Psi} { partial r}} right) right) - { frac {1} {r ^ {2}}} { partial over partial theta} left ({ frac {1} { sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta}} right) right) & = {1 over r} left (- { frac {1} { sin theta}} left ({ frac { partial ^ {2} Psi} { partial r ^ {2}}} right) - { frac { sin theta} {r ^ {2} sin theta}} { partial over partial theta} left ({ frac {1} { sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta}} right) right) & = - { frac {1} {r sin theta}} left ({ frac { partial ^ {2} Psi } { partial r ^ {2}}} + { frac { sin theta} {r ^ {2}}} { partial over partial theta} left ({ frac {1} { sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta}} right) right). end {выравнивается}}}

В результате из расчета вектор завихренности оказывается равным:

{ displaystyle { boldsymbol { omega}} = { begin {pmatrix} 0 [1ex] 0 [1ex] displaystyle - { frac {1} {r sin theta}} left ( { frac { partial ^ {2} Psi} { partial r ^ {2}}} + { frac { sin theta} {r ^ {2}}} { partial over partial theta } left ({ frac {1} { sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta}} right) right) end {pmatrix}}.}

Сравнение с цилиндрическим

Цилиндрическая и сферическая системы координат связаны через

{ Displaystyle г = г , соз тета ,}

и

{ Displaystyle rho = г , грех тета. ,}

Альтернативное определение с обратным знаком

Как объяснено в общем функция потока В статье также используются определения с использованием противоположных знаков - для связи между функцией тока Стокса и скоростью потока.^[3]

Нулевое расхождение

В цилиндрических координатах расхождение поля скорости ты становится:^[4]

{ Displaystyle { begin {align} nabla cdot { boldsymbol {u}} & = { frac {1} { rho}} { frac { partial} { partial rho}} { Bigl (} rho , u _ { rho} { Bigr)} + ​​{ frac { partial u_ {z}} { partial z}} & = { frac {1} { rho}} { frac { partial} { partial rho}} left (- { frac { partial Psi} { partial z}} right) + { frac { partial} { partial z}} left ({ frac {1} { rho}} { frac { partial Psi} { partial rho}} right) = 0, end {align}}}

как и ожидалось для несжимаемого потока.

И в сферических координатах:^[5]

{ Displaystyle { begin {align} nabla cdot { boldsymbol {u}} & = { frac {1} {r , sin theta}} { frac { partial} { partial theta }} (u _ { theta} , sin theta) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial} { partial r}} { Bigl (} r ^ {2} , u_ {r} { Bigr)} & = { frac {1} {r , sin theta}} { frac { partial} { partial theta}} left (- { frac {1} {r}} { frac { partial Psi} { partial r}} right) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial} { partial r}} left ({ frac {1} { sin theta}} { frac { partial Psi} { partial theta}} right) = 0. end {выровнено }}}

Линии тока как кривые постоянной функции тока

Из расчетов известно, что градиент вектор ${ displaystyle nabla Psi}$ нормально к кривой ${ Displaystyle Psi = C}$ (см., например, Набор уровней # Наборы уровней в зависимости от градиента ). Если будет показано, что везде ${ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla Psi = 0,}$ используя формулу для ${ displaystyle { boldsymbol {u}}}$ с точки зрения ${ displaystyle Psi,}$ то это доказывает, что кривые уровня ${ displaystyle Psi}$ являются обтекаемыми формами.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах

{ displaystyle nabla Psi = { partial Psi over partial rho} { boldsymbol {e}} _ { rho} + { partial Psi over partial z} { boldsymbol {e} } _ {z}}

.

и

{ displaystyle { boldsymbol {u}} = u _ { rho} { boldsymbol {e}} _ { rho} + u_ {z} { boldsymbol {e}} _ {z} = - {1 over rho} { partial Psi over partial z} { boldsymbol {e}} _ { rho} + {1 over rho} { partial Psi over partial rho} { boldsymbol { e}} _ {z}.}

Так что

{ displaystyle nabla Psi cdot { boldsymbol {u}} = { partial Psi over partial rho} (- {1 over rho} { partial psi over partial z}) + { partial Psi over partial z} {1 over rho} { partial Psi over partial rho} = 0.}

Сферические координаты

И в сферических координатах

{ displaystyle nabla Psi = { partial Psi over partial r} { boldsymbol {e}} _ {r} + {1 over r} { partial Psi over partial theta} { boldsymbol {e}} _ { theta}}

и

{ displaystyle { boldsymbol {u}} = u_ {r} { boldsymbol {e}} _ {r} + u _ { theta} { boldsymbol {e}} _ { theta} = {1 over r ^ {2} sin theta} { partial Psi over partial theta} { boldsymbol {e}} _ {r} - {1 over r sin theta} { partial Psi over partial r} { boldsymbol {e}} _ { theta}.}