Недвижимость Шурса - Википедия - Schurs property

В математика, Собственность Шура, названный в честь Иссай Шур, является собственностью нормированные пространства это удовлетворяется именно тогда, когда слабая конвергенция из последовательности влечет схождение в норме.

Мотивация

Когда мы работаем в нормированном пространстве Икс и у нас есть последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ который слабо сходится к ${ displaystyle x}$, тогда возникает естественный вопрос. Может быть, последовательность сходится более желательным образом? То есть сходится ли последовательность к ${ displaystyle x}$ в норме? Каноническим примером этого свойства, обычно используемым для иллюстрации свойства Шура, является ${ displaystyle ell _ {1}}$ пространство последовательности.

Определение

Предположим, что у нас есть нормированное пространство (Икс, ||·||), ${ displaystyle x}$ произвольный член Икс, и ${ displaystyle (x_ {n})}$ произвольная последовательность в пространстве. Мы говорим что Икс имеет Собственность Шура если ${ displaystyle (x_ {n})}$ слабо сходится к ${ displaystyle x}$ подразумевает, что ${ Displaystyle lim _ {п к infty} Vert x_ {n} -x Vert = 0}$. Другими словами, слабая и сильная топологии имеют одни и те же сходящиеся последовательности. Однако обратите внимание, что слабая и сильная топологии всегда различны в бесконечномерном пространстве.

Имя

Этот отель был назван в честь математика начала 20 века. Иссай Шур кто показал это ℓ¹ обладал указанным выше свойством в своей статье 1921 года.^[1]

Смотрите также

• Радон-Рисс свойство для аналогичного свойства нормированных пространств
• Теорема Шура

Примечания

Рекомендации

• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахова пространства, Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98431-3