Теорема Шурса - Википедия - Schurs theorem

В дискретная математика, Теорема Шура является любой из нескольких теорем математик Иссай Шур. В дифференциальная геометрия, Теорема Шура это теорема Аксель Шур. В функциональный анализ, Теорема Шура часто называют Собственность Шура, также благодаря Issai Schur.

Теория Рамсея

В Теория Рамсея, Теорема Шура заявляет, что для любого раздел из положительные целые числа на конечное число частей, одна из частей содержит три целых числа Икс, у, z с

${ displaystyle x + y = z.}$

Более того, для любого натурального числа c, существует номер S(c), называется Число Шура, такое, что для каждого разбиения целых чисел

${ Displaystyle {1, ldots, S (с) }}$

в c части, одна из частей содержит целые числа Икс, у, и z с

${ displaystyle x + y = z.}$

Теорема Фолкмана обобщает теорему Шура, утверждая, что существуют сколь угодно большие наборы целых чисел, все непустые суммы которых принадлежат одной и той же части.

Используя это определение, первые несколько чисел Шура равны S(1) = 2, 5, 14, 45, 161, ... (OEIS: A030126) Доказательство того, что S(5) = 161 был анонсирован в 2017 году и занял 2 петабайты пространства.^[1]

Комбинаторика

В комбинаторика, Теорема Шура сообщает количество способов выражения данного числа как (неотрицательной, целочисленной) линейной комбинации фиксированного набора относительно простых чисел. В частности, если ${ Displaystyle {а_ {1}, ldots, а_ {п} }}$ набор целых чисел такой, что ${ Displaystyle НОД (а_ {1}, ldots, а_ {п}) = 1}$, количество различных наборов неотрицательных целых чисел ${ displaystyle (c_ {1}, ldots, c_ {n})}$ такой, что ${ displaystyle x = c_ {1} a_ {1} + cdots + c_ {n} a_ {n}}$ когда ${ displaystyle x}$ уходит в бесконечность:

${ displaystyle { frac {x ^ {n-1}} {(n-1)! a_ {1} cdots a_ {n}}} (1 + o (1)).}$

В результате для каждого набора относительно простых чисел ${ Displaystyle {а_ {1}, ldots, а_ {п} }}$ существует стоимость ${ displaystyle x}$ так что каждое большее число может быть представлено как линейная комбинация ${ Displaystyle {а_ {1}, ldots, а_ {п} }}$ по крайней мере, одним способом. Это следствие теоремы можно переформулировать в знакомом контексте, рассматривая проблему изменения суммы с помощью набора монет. Если номиналы монет являются относительно простыми числами (например, 2 и 5), то любое достаточно большое количество может быть изменено с использованием только этих монет. (Видеть Проблема с монетой.)

Дифференциальная геометрия

В дифференциальная геометрия, Теорема Шура сравнивает расстояние между конечными точками пространственной кривой ${ displaystyle C ^ {*}}$ на расстояние между концами соответствующей плоской кривой ${ displaystyle C}$ меньшей кривизны.

Предполагать ${ Displaystyle C (s)}$ плоская кривая с кривизной ${ Displaystyle каппа (ы)}$ который образует выпуклую кривую при замыкании хордой, соединяющей ее концы, и ${ displaystyle C ^ {*} (s)}$ кривая такой же длины с кривизной ${ Displaystyle каппа ^ {*} (s)}$. Позволять ${ displaystyle d}$ обозначают расстояние между конечными точками ${ displaystyle C}$ и ${ displaystyle d ^ {*}}$ обозначают расстояние между конечными точками ${ displaystyle C ^ {*}}$. Если ${ Displaystyle каппа ^ {*} (s) leq kappa (s)}$ тогда ${ displaystyle d ^ {*} geq d}$.

Теорема Шура обычно указывается для ${ displaystyle C ^ {2}}$ кривые, но Джон М. Салливан заметил, что теорема Шура применима к кривым конечной полной кривизны (утверждение немного отличается).

Линейная алгебра

В линейная алгебра Теорема Шура упоминается как треугольнизация квадратной матрицы с комплексными элементами или квадратной матрицы с действительными элементами и действительными собственными значениями.

Функциональный анализ

В функциональный анализ и изучение Банаховы пространства, Теорема Шура, в силу Дж. Шур, часто относится к Собственность Шура, что для определенных пространств слабая конвергенция влечет сходимость по норме.

Теория чисел

В теория чисел, Иссай Шур показал в 1912 году, что для любого непостоянного многочлена п(Икс) с целыми коэффициентами, если S это множество всех ненулевых значений ${ displaystyle { begin {Bmatrix} p (n) neq 0: n in mathbb {N} end {Bmatrix}}}$, то множество простых чисел, делящих некоторый член S бесконечно.

Смотрите также

• Лемма Шура (из римановой геометрии)

Рекомендации

• Герберт С. Уилф (1994). генерирующаяфункционология. Академическая пресса.
• Шиинг-Шен Черн (1967). Кривые и поверхности в евклидовом пространстве. В Исследования по глобальной геометрии и анализу. Прентис-Холл.
• Иссай Шур (1912). Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen speziellen arithmetischen Progressionen, Sitzungsberichte der Berliner Math.

дальнейшее чтение

• Дэни Бреслауэр и Девдатт П. Дубхаши (1995). Комбинаторика для компьютерных ученых
• Джон М. Салливан (2006). Кривые конечной полной кривизны. arXiv.