Теорема Фолкманса - Википедия - Folkmans theorem

Теорема Фолкмана это теорема в математике, и особенно в арифметическая комбинаторика и Теория Рамсея. Согласно этой теореме, когда натуральные числа находятся разделенный на конечное множество подмножеств, существуют сколь угодно большие наборы чисел, все суммы которых принадлежат одному и тому же подмножеству разбиения.[1] Теорема была открыта и доказана независимо несколькими математиками,[2][3] прежде, чем она была названа "теоремой Фолкмана", как памятник Джон Фолкман, к Грэм, Ротшильд, и Спенсер.[1]

Формулировка теоремы

Позволять N - набор {1, 2, 3, ...} натуральных чисел, и предположим, что N разделен на k разные подмножества N1, N2, ... Nk, куда k любое положительное целое число. Тогда теорема Фолкмана утверждает, что для любого положительного целого числа м, существует множество Sм и индекс ям такой, что Sм имеет м элементов и такие, что каждая сумма непустого подмножества Sм принадлежит Nям.[1]

Связь с теоремой Радо и теоремой Шура

Теорема Шура в теории Рамсея утверждает, что для любого конечного разбиения натуральных чисел существуют три числа Икс, у, и Икс + у все принадлежат к одному набору разделов. То есть это частный случай м = 2 теоремы Фолкмана.

Теорема Радо в теории Рамсея касается аналогичной постановки задачи, в которой целые числа разбиваются на конечное число подмножеств; теорема характеризует целочисленные матрицы А с тем свойством, что система линейных уравнений А Икс = 0 можно гарантировать наличие решения, в котором каждая координата вектора решения Икс принадлежит к тому же подмножеству раздела. Система уравнений называется обычный всякий раз, когда он удовлетворяет условиям теоремы Радо; Теорема Фолкмана эквивалентна регулярности системы уравнений

куда Т пробегает по каждому непустому подмножеству множества {1, 2, ..., м}.[1]

Умножение против сложения

В теореме Фолкмана можно заменить сложение умножением: если натуральные числа конечно разделены, существуют сколь угодно большие множества S такие, что все произведения непустых подмножеств S принадлежат к одному набору разделов. Действительно, если ограничить S состоять только из силы двух, то этот результат немедленно следует из аддитивной версии теоремы Фолкмана. Однако остается открытым вопрос о том, существуют ли сколь угодно большие множества такие, что все суммы и все произведения непустых подмножеств принадлежат одному множеству разбиений. Первый пример нелинейности в теории Рамсея, который не состоит из одночленов, был независимо дан Фюрстенбергом и Саркози в 1977 году с семьей {Икс, Икс + у2}, результат, который был дополнительно улучшен Бергельсоном в 1987 году. В 2016 году Дж. Морейра доказал, что существует множество вида {Икс, Икс + у, ху} содержится в элементе раздела[4] Однако даже не известно, обязательно ли должно существовать множество вида {Икс, у, Икс + у, ху}, для которого все четыре элемента принадлежат одному набору разбиения.[1]

Каноническая теорема Фолькмана

Позволять обозначим множество всех конечных сумм элементов . Позволять - раскраска (возможно бесконечная) натуральных чисел, и пусть - произвольное натуральное число. Существует такое, что выполняется хотя бы одно из следующих 3 условий.

1) - монохроматический набор.

2) это набор радуги.

3) Для любого , цвет определяется исключительно .

Предыдущие результаты

Варианты теоремы Фолкмана были доказаны Ричард Радо и Дж. Х. Сандерсом.[2][3][1] Теорема Фолкмана названа в память о Джон Фолкман к Рональд Грэм, Брюс Ли Ротшильд, и Джоэл Спенсер в своей книге о Теория Рамсея.[1]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм Грэм, Рональд Л.; Ротшильд, Брюс Л.; Спенсер, Джоэл Х. (1980), «3.4 Конечные суммы и конечные объединения (теорема Фолкмана)», Теория Рэмси, Wiley-Interscience, стр. 65–69..
  2. ^ а б Радо, Р. (1970), "Некоторые теоремы о разбиении", Комбинаторная теория и ее приложения, III: Proc. Коллоквиум, Балатонфюред, 1969 г., Амстердам: Северная Голландия, стр. 929–936, МИСТЕР  0297585.
  3. ^ а б Сандерс, Джон Генри (1968), Обобщение теоремы Шура, Кандидат наук. дипломная работа Йельского университета, МИСТЕР  2617864.
  4. ^ Морейра, Дж. (2017), «Монохромные суммы и произведения в N", Анналы математики, ВТОРАЯ СЕРИЯ, Vol. 185, № 3, Эванстон: математический факультет Принстонского университета, стр. 1069–1090, МИСТЕР  3664819.