Сетхи модель - Sethi model

В Сетхи модель был разработан Суреш П. Сетхи и описывает процесс изменения продаж с течением времени в ответ на Реклама.^[1][2] Скорость изменения продаж зависит от трех эффектов: реакция на рекламу, которая положительно влияет на непроданную часть рынка, убытки из-за забвения или, возможно, из-за факторов конкуренции, которые отрицательно влияют на проданную часть рынка, и случайного эффект, который может идти в любом направлении.

Суреш Сетхи опубликовал свою статью «Детерминированная и стохастическая оптимизация модели динамической рекламы» в 1983 году.^[1] Модель Сетхи является модификацией, а также стохастическим расширением рекламной модели Видейла-Вульфа.^[3] Модель и ее конкурентные расширения широко использовались в литературе.^{[4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21] [22] [23][24] [25] [26] [27][28]}Более того, некоторые из этих расширений были также проверены эмпирически.^[6][9][12]

Модель

Рекламная модель Sethi или просто модель Sethi обеспечивает динамику продаж и рекламы в виде следующих стохастическое дифференциальное уравнение:

${displaystyle dX_ {t} = left (rU_ {t} {sqrt {1-X_ {t}}} - дельта X_ {t} ight), dt + sigma (X_ {t}), dz_ {t}, qquad X_ {0} = x}$.

Где:

• ${displaystyle X_ {t}}$ это доля рынка во время ${displaystyle t}$
• ${displaystyle U_ {t}}$ скорость рекламы во время ${displaystyle t}$
• ${displaystyle r}$ коэффициент эффективности рекламы
• ${displaystyle delta}$ постоянная распада
• ${displaystyle sigma (X_ {t})}$ коэффициент диффузии
• ${displaystyle z_ {t}}$ это Винеровский процесс (Стандартный Броуновское движение ); ${displaystyle dz_ {t}}$ известен как белый шум.

Объяснение

Скорость изменения продаж зависит от трех эффектов: реакция на рекламу, которая положительно влияет на непроданную часть рынка через ${displaystyle r}$, убыток из-за забвения или, возможно, из-за факторов конкуренции, которые негативно влияют на проданную часть рынка через ${displaystyle delta}$, и случайный эффект, использующий термин диффузии или белого шума, который может быть любым.

• Коэффициент ${displaystyle r}$ - коэффициент эффективности рекламной инновации.
• Коэффициент ${displaystyle delta}$ - постоянная распада.
• Термин квадратного корня вызывает так называемый эффект молвы, по крайней мере, при низких уровнях продаж.^[1][4]
• Термин диффузии ${displaystyle sigma (X_ {t}) dz_ {t}}$ вносит случайный эффект.

Пример оптимальной рекламной задачи

В соответствии с моделью Sethi выше с начальной долей рынка ${displaystyle x}$, рассмотрим следующую целевую функцию:

${displaystyle V (x) = max _ {U_ {t} geq 0}; Eleft [int _ {0} ^ {infty} e ^ {- ho t} (pi X_ {t} -U_ {t} ^ {2 }), dtight],}$

куда ${displaystyle pi}$ обозначает выручку от продаж, соответствующую рынку в целом, т. е. когда ${displaystyle x = 1}$, и ${displaystyle ho> 0}$ обозначает ставку дисконтирования.

Функция ${displaystyle V (x)}$ известна как функция цены для этой проблемы, и показано, что^[2]

${displaystyle V (x) = {ar {lambda}} x + {frac {{ar {lambda}}} ^ {2} r ^ {2}} {4ho}},}$

куда

${displaystyle {ar {lambda}} = {frac {{sqrt {(ho + delta) ^ {2} + r ^ {2} pi}} - (ho + delta)} {r ^ {2} / 2}} .}$

В оптимальный контроль для этой проблемы^[2]

${displaystyle U_ {t} ^ {*} = u ^ {*} (X_ {t}) = {frac {r {ar {lambda}} {sqrt {1- X_ {t}}}} {2}} = {egin {case} {}> {ar {u}} & {ext {if}} X_ {t} <{ar {x}}, {} = {ar {u}} & {ext {if}} X_ {t} = {ar {x}}, {} <{ar {u}} & {ext {if}} X_ {t}> {ar {x}}, end {case}}}$

куда

${displaystyle {ar {x}} = {frac {r ^ {2} {ar {lambda}} / 2} {r ^ {2} {ar {lambda}} / 2 + delta}}}$

и

${displaystyle {ar {u}} = {frac {r {ar {lambda}} {sqrt {1- {ar {x}}}}} {2}}.}$

Расширения модели Сетхи

• Конкурентные расширения - дифференциальные игры Нэша^{[4][7][8][9][10][12][13]}
• Эмпирическое тестирование модели Sethi и расширений^{[5][6][9][12]}
• Дифференциальные игры Штакельберга ^[14][15]
• Модель товаров длительного пользования Sethi^[16][17]

Смотрите также

• Модель диффузии басов
• дифференциальные игры
• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Распространение инноваций
• Соревнование Штаклеберга
• равновесие по Нэшу

Рекомендации