Куча теней - Shadow heap

В Информатика, а куча теней это объединяемая куча структура данных который поддерживает эффективное слияние кучи в амортизированный смысл. В частности, теневые кучи использовать алгоритм слияния теней для вставки в О (f (п)) амортизированное время и удаление в О((бревно п журнал журнал п) / f (п)) амортизированное время для любого выбора 1 ≤ f (п) ≤ журнал журнал п.^[1]

В этой статье предполагается, что А и B двоичные кучи с |А| ≤ |B|.

Слияние теней

Слияние теней - это алгоритм для слияния двух двоичные кучи эффективно, если эти кучи реализованы как массивы. В частности, время работы слияния теней на двух кучах ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ является ${ Displaystyle О (| A | + мин { журнал | B | журнал журнал | B |, журнал | A | журнал | B | })}$.

Алгоритм

Мы хотим объединить две двоичные минимальные кучи ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$. Алгоритм следующий:

1. Объедините массив ${ displaystyle A}$ в конце массива ${ displaystyle B}$ получить массив ${ displaystyle C}$.
2. Определить тень из ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle C}$; то есть предки последних ${ displaystyle | A |}$ узлы в ${ displaystyle C}$ которые разрушают свойство кучи.
3. Определите следующие две части тени от ${ displaystyle C}$:
   • В дорожка ${ displaystyle P}$: набор узлов в тени, для которых не более 2 на любой глубине ${ displaystyle C}$;
   • В поддерево ${ displaystyle T}$: остаток тени.
4. Извлеките и отсортируйте самые маленькие ${ displaystyle | P |}$ узлы из тени в массив ${ displaystyle S}$.
5. Преобразовать ${ displaystyle S}$ следующее:
   • Если ${ displaystyle | S |> | C |}$, затем, начиная с наименьшего элемента в отсортированном массиве, последовательно вставьте каждый элемент ${ displaystyle S}$ в ${ displaystyle C}$, заменив их на ${ displaystyle C}$мельчайшие элементы.
   • Если ${ Displaystyle | S | leq | C |}$, затем извлеките и отсортируйте ${ displaystyle | P |}$ самые маленькие элементы из ${ displaystyle C}$, и объедините этот отсортированный список с ${ displaystyle S}$.
6. Заменить элементы ${ displaystyle S}$ в исходное положение в ${ displaystyle C}$.
7. Сделайте кучу из ${ displaystyle T}$.

Продолжительность

Опять же, пусть ${ displaystyle P}$ обозначим путь, а ${ displaystyle T}$ обозначают поддерево объединенной кучи ${ displaystyle C}$. Количество узлов в ${ displaystyle P}$ не более чем вдвое глубже ${ displaystyle C}$, который ${ Displaystyle О ( журнал | B |)}$. Причем количество узлов в ${ displaystyle T}$ на глубине ${ displaystyle d}$ составляет не более 3/4 количества узлов на глубине ${ displaystyle d + 1}$, поэтому поддерево имеет размер ${ Displaystyle O (| A |)}$. Поскольку на каждом уровне не более 2 узлов. ${ displaystyle P}$, затем читая самый маленький ${ displaystyle | P |}$ элементы тени в отсортированный массив ${ displaystyle S}$ берет ${ Displaystyle О ( журнал | B |)}$ время.

Если ${ displaystyle | S |> | C |}$, затем объединяя ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle C}$ как в шаге 5 выше требует времени ${ Displaystyle О ( журнал | A | журнал | B |)}$. В противном случае время, затраченное на этот шаг, равно ${ Displaystyle О (| A | + журнал | B | журнал журнал | B |)}$. Наконец, делаем кучу поддерева ${ displaystyle T}$ берет ${ Displaystyle O (| A |)}$ время. Это составляет общее время выполнения теневого слияния ${ Displaystyle O (| A | + мин { журнал | A | журнал | B |, журнал | B | журнал журнал | B | })}$.

Структура

Куча теней ${ displaystyle H}$ состоит из пороговой функции ${ displaystyle f (H)}$, и множество для которых реализован обычный массив двоичная куча Свойство сохраняется в его первых записях, и для которого свойство кучи не обязательно поддерживается в других записях. Таким образом, теневая куча - это, по сути, двоичная куча. ${ displaystyle B}$ рядом с массивом ${ displaystyle A}$. Чтобы добавить элемент в теневую кучу, поместите его в массив ${ displaystyle A}$. Если массив становится слишком большим в соответствии с указанным порогом, мы сначала создаем кучу из ${ displaystyle A}$ с помощью Алгоритм Флойда для строительства кучи,^[2] а затем объедините эту кучу с ${ displaystyle B}$ используя слияние теней. Наконец, слияние теневых куч просто выполняется путем последовательной вставки одной кучи в другую с использованием описанной выше процедуры вставки.

Анализ

Нам дана куча теней ${ Displaystyle Н = (В, А)}$, с пороговой функцией ${ Displaystyle журнал | H | Leq е (H) Leq log | H | log log | H |}$ как указано выше. Предположим, что пороговая функция такова, что любое изменение ${ displaystyle | B |}$ вызывает не большее изменение, чем в ${ displaystyle f (H)}$. Мы выводим желаемые границы времени работы для объединяемая куча операции с использованием потенциальный метод за амортизированный анализ. Потенциал ${ displaystyle Psi (H)}$ кучи выбрано:

${ Displaystyle Psi (H) = | A | (1+ мин { журнал | B | журнал журнал | B |, журнал | B | журнал | A | } / f (H)) }$

Используя этот потенциал, мы можем получить желаемое амортизированное время работы:

Создайте(ЧАС): инициализирует новую пустую теневую кучу ${ displaystyle H}$

Здесь потенциал ${ Displaystyle Psi}$ не изменилась, поэтому амортизированная стоимость создания равна ${ Displaystyle O (1)}$, фактическая стоимость.

вставлять(Икс, ЧАС): вставки ${ displaystyle x}$ в кучу теней ${ displaystyle H}$

Есть два случая:

• Если используется слияние, то падение потенциальной функции - это в точности фактическая стоимость слияния. ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle A}$, поэтому амортизированная стоимость равна ${ displaystyle O (1)}$.
• Если слияние не происходит, амортизированная стоимость равна ${ Displaystyle О (1+ мин { журнал | В | журнал журнал | В |, журнал | В | журнал | A | } / f (H))}$

Таким образом, путем выбора пороговой функции получаем, что амортизированная стоимость вставки составляет:

${ Displaystyle О ( журнал | H | журнал журнал | H | / f (H))}$

delete_min (ЧАС): удаляет элемент с минимальным приоритетом из ${ displaystyle H}$

Поиск и удаление минимума занимает реальное время ${ Displaystyle O (| A | + журнал | B |)}$. Более того, потенциальная функция может увеличиваться после этого удаления только в том случае, если значение ${ displaystyle f (H)}$ уменьшается. По выбору ${ displaystyle f}$, получаем, что амортизированная стоимость этой операции совпадает с фактической стоимостью.

Связанные алгоритмы и структуры данных

Наивный алгоритм слияния двоичной кучи объединит две кучи ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ во время ${ Displaystyle O (| B |)}$ просто объединив обе кучи и сделав кучу из полученного массива, используя Алгоритм Флойда для строительства кучи. В качестве альтернативы, кучи можно просто объединить, последовательно вставив каждый элемент ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle B}$, не торопясь ${ Displaystyle O (| A | журнал | B |)}$.

Мешок и Стрототт предложил алгоритм объединения двоичных куч в ${ Displaystyle О (| A | + журнал | A | журнал | B |)}$ время.^[3] Известно, что их алгоритм более эффективен, чем второе наивное решение, описанное выше, примерно когда ${ displaystyle | A |> log | B |}$. Слияние теней работает асимптотически лучше, чем их алгоритм, даже в худшем случае.

Есть несколько других куч, которые поддерживают более быстрое время слияния. Например, Куча Фибоначчи можно объединить ${ displaystyle O (1)}$ время. Поскольку двоичные кучи требуют ${ Displaystyle Omega (| A |)}$ время сливаться,^[4] слияние теней остается эффективным.

Рекомендации