Формула Шермана – Моррисона - Википедия - Sherman–Morrison formula

В математика, особенно линейная алгебра, то Формула Шермана – Моррисона,^[1]^[2]^[3] названный в честь Джека Шермана и Уинифред Дж. Моррисон, вычисляет обратную сумму обратимый матрица ${ displaystyle A}$ и внешний продукт, ${ displaystyle uv ^ { textf {T}}}$ , из векторов ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ . Формула Шермана – Моррисона является частным случаем Формула Вудбери. Хотя он назван в честь Шермана и Моррисона, он уже появлялся в более ранних публикациях.^[4]

Заявление

Предполагать ${ Displaystyle А в mathbb {R} ^ {п раз п}}$ является обратимый квадратная матрица и ${ Displaystyle и, v in mathbb {R} ^ {n}}$ находятся вектор-столбец. потом ${ Displaystyle А + уф ^ { extf {T}}}$ обратимый если только ${ displaystyle 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} и neq 0}$ . В этом случае,

{ displaystyle left (A + uv ^ { extf {T}} right) ^ {- 1} = A ^ {- 1} - {A ^ {- 1} uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} over 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u}.}

Здесь, ${ displaystyle uv ^ { textf {T}}}$ это внешний продукт двух векторов ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ . Показанная здесь общая форма является формой, опубликованной Бартлеттом.^[5]

Доказательство

( ${ displaystyle Leftarrow}$ ) Чтобы доказать, что обратное направление ( ${ displaystyle 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u neq 0 Rightarrow A + uv ^ { extf {T}}}$ обратима с указанным выше обратным) верно, мы проверяем свойства обратного. Матрица ${ displaystyle Y}$ (в данном случае правая часть формулы Шермана – Моррисона) является обратной матрицей ${ displaystyle X}$ (в этом случае ${ Displaystyle А + уф ^ { extf {T}}}$ ) если и только если ${ displaystyle XY = YX = I}$ .

Сначала проверим, что правая часть ( ${ displaystyle Y}$ ) удовлетворяет ${ displaystyle XY = I}$ .

{ Displaystyle { begin {align} XY & = left (A + uv ^ { extf {T}} right) left (A ^ {- 1} - {A ^ {- 1} uv ^ { extf) {T}} A ^ {- 1} over 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u} right) [6pt] & = AA ^ {- 1} + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} - {AA ^ {- 1} uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} over 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u} [6pt] & = I + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} - {uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} over 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u} [6pt] & = I + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} - {u left (1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u right) v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} over 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u} [6pt] & = I + uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1} -uv ^ { extf {T }} A ^ {- 1} [6pt] end {выровнено}}}

Чтобы завершить доказательство этого направления, нам нужно показать, что ${ displaystyle YX = I}$ аналогично тому, как указано выше:

{ displaystyle YX = left (A ^ {- 1} - {A ^ {- 1} uv ^ {T} A ^ {- 1} over 1 + v ^ {T} A ^ {- 1} u} right) (A + uv ^ {T}) = I.}

( ${ displaystyle Rightarrow}$ ) Взаимно, если ${ displaystyle 1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u = 0}$ , затем позволяя ${ displaystyle x = A ^ {- 1} u}$ , ${ displaystyle left (A + uv ^ { extf {T}} right)}$ имеет нерегулярное ядро и поэтому не обратим.

Заявление

Если обратное ${ displaystyle A}$ уже известно, формула дает численно дешевый способ вычислить обратное ${ displaystyle A}$ исправлено матрицей ${ displaystyle uv ^ { textf {T}}}$ (в зависимости от точки зрения поправку можно рассматривать как возмущение или как классифицировать -1 обновление). Вычисление относительно дешевое, потому что обратное ${ Displaystyle А + уф ^ { extf {T}}}$ не нужно вычислять с нуля (что, как правило, дорого), но можно вычислить путем исправления (или возмущения) ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ .

Использование столбцов единиц измерения (столбцы из единичная матрица ) за ${ displaystyle u}$ или же ${ displaystyle v}$ , отдельные столбцы или строки ${ displaystyle A}$ таким образом можно манипулировать и соответственно обновлять инверсию относительно дешево.^[6] В общем случае, когда ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ это ${ displaystyle n}$ -к- ${ displaystyle n}$ матрица и ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ - произвольные векторы размерности ${ displaystyle n}$ , обновляется вся матрица^[5] и вычисление занимает ${ displaystyle 3n ^ {2}}$ скалярные умножения.^[7] Если ${ displaystyle u}$ является единичным столбцом, вычисление занимает только ${ displaystyle 2n ^ {2}}$ скалярные умножения. То же самое, если ${ displaystyle v}$ является единичным столбцом. Если оба ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ являются единичными столбцами, вычисление занимает только ${ Displaystyle п ^ {2}}$ скалярные умножения.

Эта формула также имеет применение в теоретической физике. А именно, в квантовой теории поля эту формулу используют для вычисления пропагатора поля со спином 1.^[8]^{[циркулярная ссылка ]} Обратный пропагатор (как он фигурирует в лагранжиане) имеет вид ${ displaystyle left (A + uv ^ { extf {T}} right)}$ . Один использует формулу Шермана-Моррисона для вычисления обратного (удовлетворяющего определенным граничным условиям временного порядка) обратного пропагатора - или просто пропагатора (Фейнмана) - который необходим для выполнения любых пертурбативных вычислений.^[9] с участием поля спина-1.

Альтернативная проверка

Ниже приводится альтернативная проверка формулы Шермана – Моррисона с использованием легко проверяемого тождества.

{ displaystyle left (I + wv ^ { extf {T}} right) ^ {- 1} = I - { frac {wv ^ { extf {T}}} {1 + v ^ { extf {T}} w}}}

.

Позволять

{ displaystyle u = AW, quad { text {and}} quad A + uv ^ { textf {T}} = A left (I + wv ^ { extf {T}} right),}

тогда

{ displaystyle left (A + uv ^ { extf {T}} right) ^ {- 1} = left (I + wv ^ { extf {T}} right) ^ {- 1} A ^ {-1} = left (I - { frac {wv ^ { extf {T}}} {1 + v ^ { extf {T}} w}} right) A ^ {- 1}}

.

Подстановка ${ Displaystyle ш = А ^ {- 1} и}$ дает

{ displaystyle left (A + uv ^ { textf {T}} right) ^ {- 1} = left (I - { frac {A ^ {- 1} uv ^ { extf {T}}) } {1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u}} right) A ^ {- 1} = A ^ {- 1} - { frac {A ^ {- 1} uv ^ { extf {T}} A ^ {- 1}} {1 + v ^ { extf {T}} A ^ {- 1} u}}}

Обобщение (Тождество матрицы Вудбери )

Учитывая обратимый квадрат ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ${ displaystyle A}$ , ${ Displaystyle п раз к}$ матрица ${ displaystyle U}$ , а ${ Displaystyle к раз п}$ матрица ${ displaystyle V}$ , позволять ${ displaystyle B}$ быть ${ Displaystyle п раз п}$ матрица такая, что ${ Displaystyle B = A + UV}$ . Тогда, предполагая ${ displaystyle left (I_ {k} + VA ^ {- 1} U right)}$ обратимо, имеем