Реконструкция сигнала - Signal reconstruction

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Реконструкция сигнала»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В обработка сигналов, реконструкция обычно означает определение исходного непрерывного сигнала из последовательности равноотстоящих отсчетов.

В этой статье используется обобщенный абстрактный математический подход к дискретизации и реконструкции сигналов. Более практичный подход, основанный на сигналах с ограниченной полосой частот, см. Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона.

Основной принцип

Позволять F быть любым методом выборки, т. е. линейной картой из Гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций ${ displaystyle L ^ {2}}$ к сложный Космос ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

В нашем примере векторное пространство дискретизированных сигналов ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ является п-мерное сложное пространство. Любая предлагаемая обратная р из F (формула реконструкции, на жаргоне) пришлось бы сопоставить ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ к некоторому подмножеству ${ displaystyle L ^ {2}}$. Мы могли бы выбрать это подмножество произвольно, но если нам понадобится формула восстановления р это тоже линейная карта, то мы должны выбрать п-мерное линейное подпространство ${ displaystyle L ^ {2}}$.

Тот факт, что размеры должны совпадать, связан с Теорема выборки Найквиста – Шеннона.

Здесь работает элементарный подход линейной алгебры. Позволять ${ displaystyle d_ {k}: = (0, ..., 0,1,0, ..., 0)}$ (все записи нулевые, кроме kth запись, которая является единицей) или какой-либо другой основе ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Чтобы определить обратное для Fпросто выберите для каждого k, ${ displaystyle e_ {k} in L ^ {2}}$ так что ${ Displaystyle F (e_ {k}) = d_ {k}}$. Это однозначно определяет (псевдо) инверсию к F.

Конечно, можно сначала выбрать некоторую формулу восстановления, а затем либо вычислить некоторый алгоритм выборки из формулы восстановления, либо проанализировать поведение данного алгоритма выборки по отношению к данной формуле.

В идеале формула восстановления получается путем минимизации ожидаемой дисперсии ошибки. Для этого требуется либо известна статистика сигнала, либо может быть указана априорная вероятность сигнала. Теория информационного поля является подходящим математическим аппаратом для вывода оптимальной формулы восстановления.^[1]

Популярные формулы реконструкции

Пожалуй, наиболее широко используемая формула реконструкции выглядит следующим образом. Позволять ${ Displaystyle {е_ {к} }}$ быть основой ${ displaystyle L ^ {2}}$ в смысле гильбертова пространства; например, можно использовать эйконал

${ Displaystyle е_ {к} (т): = е ^ {2 пи ikt} ,}$,

хотя, конечно, возможны и другие варианты. Обратите внимание, что здесь индекс k может быть любым целым числом, даже отрицательным.

Тогда мы можем определить линейную карту р к

${ Displaystyle R (d_ {k}) = e_ {k} ,}$

для каждого ${ Displaystyle к = lfloor -n / 2 rfloor, ..., lfloor (n-1) / 2 rfloor}$, куда ${ displaystyle (d_ {k})}$ это основа ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ данный

${ displaystyle d_ {k} (j) = e ^ {2 pi ijk over n}}$

(Это обычный дискретный базис Фурье.)

Выбор ассортимента ${ Displaystyle к = lfloor -n / 2 rfloor, ..., lfloor (n-1) / 2 rfloor}$ является несколько произвольным, хотя он удовлетворяет требованию размерности и отражает обычное представление о том, что наиболее важная информация содержится в низких частотах. В некоторых случаях это неверно, поэтому необходимо выбрать другую формулу восстановления.

Аналогичный подход можно получить, используя вейвлеты вместо базисов Гильберта. Для многих приложений сегодня все еще не ясен лучший подход.

Смотрите также

• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона
• Сглаживание
• Реконструкция многомерных сигналов

Рекомендации