Гладкая алгебра - Википедия - Smooth algebra

В алгебра, коммутативный k-алгебра А как говорят 0-гладкий если он удовлетворяет следующему подъемному свойству: при заданном k-алгебра C, идеальный N из C чей квадрат равен нулю и k-алгебра карта ${ displaystyle u: от A до C / N}$, существует k-алгебра карта ${ displaystyle v: от A до C}$ такой, что ты является v а затем каноническая карта. Если существует не более одного такого подъема v, тогда А как говорят 0-неразветвленный (или же 0-аккуратно). А как говорят 0-эталь если это 0-гладкий и 0-неразветвленный.

Конечно порожденный k-алгебра А 0-гладко k тогда и только тогда, когда Spec А это гладкая схема над k.

А отделяемый расширение алгебраического поля L из k 0-этальна k.^[1] Формальное кольцо степенного ряда ${ Displaystyle к [! [т_ {1}, ldots, т_ {п}] !]}$ 0-гладко только когда ${ displaystyle operatorname {char} k = p> 0}$ и ${ Displaystyle [к: к ^ {p}] < infty}$ (т.е. k имеет конечный п-основа.)^[2]

я-гладкий

Позволять B быть А-алгебра и предположим B дается я-адическая топология, я идеал B. Мы говорим B является я-сглаживать А если он удовлетворяет подъемным свойствам: с учетом А-алгебра C, идеальный N из C чей квадрат равен нулю и А-алгебра карта ${ displaystyle u: B to C / N}$ это непрерывно, когда ${ Displaystyle C / N}$ задана дискретная топология, существует А-алгебра карта ${ displaystyle v: B to C}$ такой, что ты является v а затем каноническая карта. Как и раньше, если существует не более одного такого подъемника v, тогда B как говорят я- без разветвления А (или же я-аккуратный). B как говорят я-étale если это я-гладкий и я-не разветвленный. Если я - нулевой идеал и А - поле, эти понятия совпадают с 0-гладкостью и т. д., как определено выше.

Стандартный пример: пусть А несущий, ${ Displaystyle В = А [! [t_ {1}, ldots, t_ {n}] !]}$ и ${ displaystyle I = (t_ {1}, ldots, t_ {n}).}$ потом B является я-сглаживать А.

Позволять А быть нётерским местным жителем k-алгебра с максимальным идеалом ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. потом А является ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-сглаживать k если и только если ${ displaystyle A otimes _ {k} k '}$ является регулярным кольцом для любого конечного поля расширения ${ displaystyle k '}$ из k.^[3]

Смотрите также

• этальный морфизм
• формально гладкий морфизм
• Теорема Попеску

Рекомендации

• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.