Точка застоя потока - Stagnation point flow

В динамика жидкостей, Точка застоя потока представляет собой поток жидкости в непосредственной близости от твердой поверхности, на котором жидкость, приближающаяся к поверхности, разделяется на различные потоки или встречные потоки жидкости, встречающиеся в экспериментах. Хотя жидкость застаивается повсюду на твердой поверхности из-за условие противоскольжения, название точка застоя относится к точкам застоя невязких Эйлер решения.

Поток Hiemenz^[1]^[2]

Двумерный поток точки застоя

Hiemenz^[3] сформулировал задачу и численно рассчитал решение в 1911 г., а затем Лесли Ховарт (1934).^[4] Течение в окрестности точки торможения можно смоделировать потоком к бесконечной плоской пластине, даже если все тело изогнуто (эффекты локальной кривизны незначительны). Пусть тарелка будет в ${ displaystyle xz}$ самолет с ${ Displaystyle (х, у) = (0,0)}$ представляющий точку застоя. Невязкий функция потока ${ displaystyle psi}$ и скорость ${ Displaystyle (и, v)}$ из Потенциальный поток теория

{ Displaystyle psi = kxy, quad u = kx, quad v = -ky}

куда ${ displaystyle k}$ - произвольная константа (представляет собой скорость деформации в противоточной установке). Для реальной жидкости (включая вязкие эффекты) существует автомодельное решение, если определить

{ displaystyle eta = { sqrt { frac {k} { nu}}} y, quad psi = { sqrt { nu k}} xF ( eta)}

куда ${ displaystyle nu}$ это Кинематическая вязкость и ${ displaystyle delta = { sqrt { nu / k}}}$ это толщина пограничного слоя но он постоянен (завихренность, возникающая на твердой поверхности, предотвращается удалением из-за встречной конвекции, аналогичные профили Пограничный слой Блазиуса с всасыванием, Вихревой поток фон Кармана так далее.,). Тогда компоненты скорости, а затем давление и уравнение для ${ Displaystyle F ( eta)}$ с помощью Уравнения Навье – Стокса находятся

{ displaystyle u = kxF ', quad v = - { sqrt { nu k}} F, quad { frac {p_ {o} -p} { rho}} = { frac {1} { 2}} k ^ {2} x ^ {2} + k nu F '+ { frac {1} {2}} k nu F ^ {2}}

{ displaystyle F '' '+ FF' '- F' ^ {2} + 1 = 0}

и граничное условие из-за отсутствия проникновения и прилипания и условие набегающего потока для ${ displaystyle u}$ (Обратите внимание на граничные условия для ${ displaystyle v}$ далеко от пластины не указывается, потому что это часть решения - типичная проблема пограничного слоя)

{ Displaystyle F (0) = 0, F '(0) = 0, F' ( infty) = 1.}

Сформулированная здесь проблема является частным случаем Пограничный слой Фолкнера-Скан. Асимптотики для больших ${ displaystyle eta rightarrow infty}$ находятся

{ displaystyle F sim eta -0.6479, quad u sim kx, quad v sim -k (y- delta ^ {*}), quad delta ^ {*} = 0,6479 delta}

куда ${ displaystyle delta ^ {*}}$ это толщина вытеснения.

Точка застоя потока с перемещающей пластиной^[5]

Течение точки торможения с движущейся пластиной с постоянной скоростью ${ displaystyle U}$ может рассматриваться как модель для вращающихся твердых тел вблизи точек торможения. Функция потока

{ displaystyle psi = { sqrt { nu k}} xF ( eta) + U delta int _ {0} ^ { eta} G ( eta) d eta}

куда ${ Displaystyle G ( eta)}$ удовлетворяет уравнению

{ Displaystyle G '' + FG'-F'G = 0, quad G (0) = 1, quad G ( infty) = 0}

и Ротт (1956)^[6] дал решение как ${ Displaystyle G ( eta) = { frac {F '' ( eta)} {F '' (0)}}.}$

Наклонный поток точки застоя

Предыдущий анализ предполагает, что поток встречает нормальное направление. Функция невязкого потока для потока в наклонной точке застоя получается добавлением постоянного завихренность ${ displaystyle - zeta _ {o}}$ .

{ displaystyle psi = kxy + { frac {1} {2}} zeta _ {o} y ^ {2}}

Соответствующий анализ для вязкой жидкости изучен Стюартом (1959),^[7] Тамада (1979)^[8] и Доррепаал (1986).^[9] Самоподобная функция потока:

{ displaystyle psi = { sqrt { nu k}} xF ( eta) + zeta _ {o} delta ^ {2} int _ {0} ^ { eta} H ( eta) d eta}

куда ${ Displaystyle H ( eta)}$ удовлетворяет уравнению

{ Displaystyle H '' + FH'-F'H = 0, quad H (0) = 0, quad H '( infty) = 1}

.

Homann Flow

Поток Хоманна с впрыском

Поток Homann с всасыванием

Соответствующая задача в осесимметричной координате решена Хоманном (1936).^[10] и это служит моделью для обтекания сферы вблизи точки торможения. Пол А. Либби (1974)^[11](1976)^[12] рассмотренное течение Гоманна с постоянно движущейся пластиной со скоростью ${ displaystyle U}$ а также допускается всасывание / впрыскивание со скоростью ${ displaystyle V}$ на поверхности.

Автомодельное решение получается путем введения следующего преобразования для скорости ${ displaystyle (v_ {r}, v _ { theta}, v_ {z})}$ в цилиндрических координатах

{ displaystyle eta = { sqrt { frac {k} { nu}}} z, quad gamma = - { frac {V} {2 { sqrt {k nu}}}}, quad v_ {r} = krF '( eta) + U cos theta G ( eta), quad v _ { theta} = - U sin theta G ( eta), quad v_ {z} = -2 { sqrt {k nu}} F ( eta)}

а давление определяется выражением

{ displaystyle { frac {p-p_ {o}} { rho}} = - { frac {1} {2}} k ^ {2} r ^ {2} -2k nu (F ^ {2 } + F ')}

Следовательно Уравнения Навье – Стокса сократить до

{ displaystyle { begin {align} F '' '+ 2FF' '- F' ^ {2} + 1 & = 0, G '' + 2FG'-F'G & = 0 end {align}}}

с граничными условиями,

{ Displaystyle F (0) = гамма, quad F '(0) = 0, quad F' ( infty) = 1, quad G (0) = 1, quad G ( infty) = 0 .}

Когда ${ Displaystyle U = V = 0}$ , восстанавливается классическая проблема Хоманна.

Противотоки самолета

Струи, выходящие из щелевых струй, создают промежуточную точку застоя согласно теории потенциала. Течение вблизи точки торможения можно исследовать с помощью автомодельного решения. Эта установка широко используется в горение эксперименты. Первоначальное исследование набегающих стагнационных потоков принадлежит К.Ю. Ван.^[13]^[14] Пусть две жидкости с постоянными свойствами обозначены суффиксом ${ displaystyle 1 ({ text {top}}), 2 ({ text {bottom}})}$ течет из противоположного направления, и давайте предположим, что две жидкости не смешиваются, а граница раздела (расположена в ${ displaystyle y = 0}$ ) плоский. Скорость определяется как

{ displaystyle u_ {1} = k_ {1} x, quad v_ {1} = - k_ {1} y, quad u_ {2} = k_ {2} x, quad v_ {2} = - k_ {2} y}

куда ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}}$ скорости деформации жидкостей. На границе раздела скорости, касательное напряжение и давление должны быть непрерывными. Введя автомодельное преобразование,

{ displaystyle eta _ {1} = { sqrt { frac { nu _ {1}} {k_ {1}}}} y, quad u_ {1} = k_ {1} xF_ {1} ' , quad v_ {1} = - { sqrt { nu _ {1} k_ {1}}} F_ {1}}

{ displaystyle eta _ {2} = { sqrt { frac { nu _ {2}} {k_ {2}}}} y, quad u_ {2} = k_ {2} xF_ {2} ' , quad v_ {2} = - { sqrt { nu _ {2} k_ {2}}} F_ {2}}

уравнения результатов,

{ displaystyle F_ {1} '' '+ F_ {1} F_ {1}' '- F_ {1}' ^ {2} + 1 = 0, quad { frac {p_ {o1} -p_ {1) }} { rho _ {1}}} = { frac {1} {2}} k_ {1} ^ {2} x ^ {2} + k_ {1} nu _ {1} F_ {1} '+ { frac {1} {2}} k_ {1} nu _ {1} F_ {1} ^ {2}}

{ displaystyle F_ {2} '' '+ F_ {2} F_ {2}' '- F_ {2}' ^ {2} + 1 = 0, quad { frac {p_ {o2} -p_ {2) }} { rho _ {2}}} = { frac {1} {2}} k_ {2} ^ {2} x ^ {2} + k_ {2} nu _ {2} F_ {2} '+ { frac {1} {2}} k_ {2} nu _ {2} F_ {2} ^ {2}.}

Условие непроникания на границе раздела и условие набегающего потока вдали от плоскости торможения становятся

{ Displaystyle F_ {1} (0) = 0, quad F_ {1} '( infty) = 1, quad F_ {2} (0) = 0, quad F_ {2}' (- infty ) = 1.}

Но уравнения требуют еще двух граничных условий. В ${ displaystyle eta = 0}$ , тангенциальные скорости ${ displaystyle u_ {1} = u_ {2}}$ , касательное напряжение ${ Displaystyle rho _ {1} nu _ {1} partial u_ {1} / partial y = rho _ {2} nu _ {2} partial u_ {2} / partial y}$ и давление ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$ непрерывны. Следовательно,

{ displaystyle { begin {align} k_ {1} F_ {1} '(0) & = k_ {2} F_ {2}' (0), rho _ {1} { sqrt { nu _ {1} k_ {1} ^ {3}}} F_ {1} '' (0) & = rho _ {2} { sqrt { nu _ {2} k_ {2} ^ {3}} } F_ {2} '' (0), p_ {o1} - rho _ {1} nu _ {1} k_ {1} F_ {1} '(0) & = p_ {o2} - rho _ {2} nu _ {2} k_ {2} F_ {2} '(0). end {align}}}

куда ${ Displaystyle rho _ {1} k_ {1} ^ {2} = rho _ {2} k_ {2} ^ {2}}$ (от внешней невязкой проблемы) используется. Обе ${ displaystyle F_ {i} '(0), F_ {i}' '(0)}$ не известны априори, но получено из условий сопоставления. Третье уравнение определяет изменение внешнего давления ${ displaystyle p_ {o1} -p_ {o2}}$ из-за эффекта вязкости. Итак, есть только два параметра, которые управляют потоком:

{ displaystyle Lambda = { frac {k_ {1}} {k_ {2}}} = left ({ frac { rho _ {2}} { rho _ {1}}} right) ^ {1/2}, quad Gamma = { frac { nu _ {2}} { nu _ {1}}}}

то граничные условия становятся

{ Displaystyle F_ {1} '(0) = Lambda F_ {2}' (0), quad F_ {1} '' (0) = { sqrt { frac { Gamma} { Lambda}} } F_ {2} '' (0)}

.

Постоянная плотность и постоянная вязкость

Когда плотности и вязкости двух сталкивающихся струй одинаковы и постоянны, скорость деформации также постоянна. ${ Displaystyle к_ {1} = к_ {2} = к}$ а решение потенциального потока становится решением уравнений Навье-Стокса, т. е.

{ displaystyle u = kx, quad v = -ky}

везде в области потока. Керр и Долд нашли дополнительное новое решение, названное Вихрь Керра – Дольда уравнений Навье-Стокса в 1994 г. в виде периодического массива стационарных вихрей, наложенных на противоточные струи постоянной плотности и постоянной вязкости.^[15]

Рекомендации

^ Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963 год.
^ Бэтчелор, Джордж Кейт. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
^ Хиеменц, Карл. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder ... Diss. 1911 г.
^ Ховарт, Лесли. О расчете установившегося течения в пограничном слое у поверхности цилиндра в потоке. № ARC-R / M-1632. СОВЕТ АЭРОНАВИГАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛОНДОН (ВЕЛИКОБРИТАНИЯ), 1934 год.
^ Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
^ Ротт, Николас. «Нестационарное вязкое течение вблизи точки торможения». Ежеквартальный вестник прикладной математики 13,4 (1956): 444–451.
^ Стюарт, Дж. Т. «Вязкое течение вблизи точки торможения, когда внешний поток имеет однородную завихренность». Журнал аэрокосмических наук (2012).
^ Тамада, Ко. «Двумерный застойный поток, косо падающий на плоскую стенку». Журнал Физического общества Японии 46 (1979): 310.
^ Доррепаал, Дж. М. «Точное решение уравнения Навье – Стокса, которое описывает неортогональный поток в точке остановки в двух измерениях». Журнал гидромеханики 163 (1986): 141–147.
^ Хоманн, Фриц. "Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel". ZAMM ‐ Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 16.3 (1936): 153–164.
^ Либби, Пол А. «Стена сдвигается в трехмерной точке застоя с движущейся стенкой». Журнал AIAA 12.3 (1974): 408–409.
^ Либби, Пол А. «Ламинарный поток в трехмерной точке застоя с большой скоростью нагнетания». AIAA Journal 14.9 (1976): 1273–1279.
^ Ван, К. Я. «Застойное течение на поверхности неподвижной жидкости - точное решение уравнений Навье-Стокса». Ежеквартальный вестник прикладной математики 43.2 (1985): 215–223.
^ Ван, К. Я. "Встречные стагнационные потоки". Физика жидкостей 30.3 (1987): 915–917.
^ Керр, О.С., и Долд, Дж. У. (1994). Периодические установившиеся вихри в застойном потоке. Журнал гидромеханики, 276, 307-325.

[1] Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963 год.

[2] Бэтчелор, Джордж Кейт. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.

[3] Хиеменц, Карл. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder ... Diss. 1911 г.

[4] Ховарт, Лесли. О расчете установившегося течения в пограничном слое у поверхности цилиндра в потоке. № ARC-R / M-1632. СОВЕТ АЭРОНАВИГАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛОНДОН (ВЕЛИКОБРИТАНИЯ), 1934 год.

[5] Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.

[6] Ротт, Николас. «Нестационарное вязкое течение вблизи точки торможения». Ежеквартальный вестник прикладной математики 13,4 (1956): 444–451.

[7] Стюарт, Дж. Т. «Вязкое течение вблизи точки торможения, когда внешний поток имеет однородную завихренность». Журнал аэрокосмических наук (2012).

[8] Тамада, Ко. «Двумерный застойный поток, косо падающий на плоскую стенку». Журнал Физического общества Японии 46 (1979): 310.

[9] Доррепаал, Дж. М. «Точное решение уравнения Навье – Стокса, которое описывает неортогональный поток в точке остановки в двух измерениях». Журнал гидромеханики 163 (1986): 141–147.

[10] Хоманн, Фриц. "Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel". ZAMM ‐ Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 16.3 (1936): 153–164.

[11] Либби, Пол А. «Стена сдвигается в трехмерной точке застоя с движущейся стенкой». Журнал AIAA 12.3 (1974): 408–409.

[12] Либби, Пол А. «Ламинарный поток в трехмерной точке застоя с большой скоростью нагнетания». AIAA Journal 14.9 (1976): 1273–1279.

[13] Ван, К. Я. «Застойное течение на поверхности неподвижной жидкости - точное решение уравнений Навье-Стокса». Ежеквартальный вестник прикладной математики 43.2 (1985): 215–223.

[14] Ван, К. Я. "Встречные стагнационные потоки". Физика жидкостей 30.3 (1987): 915–917.

[15] Керр, О.С., и Долд, Дж. У. (1994). Периодические установившиеся вихри в застойном потоке. Журнал гидромеханики, 276, 307-325.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]