Представление Штейнберга - Steinberg representation

В математика, то Представление Штейнберга, или Модуль Штейнберга или Steinberg персонаж, обозначаемый Ул., это особый линейное представление из редуктивная алгебраическая группа через конечное поле или местное поле, или группа с BN-пара. Это аналог одномерного знаковое представление ε из Coxeter или Группа Вейля что переводит все отражения на –1.

Для групп над конечными полями эти представления были введены Роберт Стейнберг  (1951, 1956, 1957 ) сначала для общих линейных групп, затем для классических групп, а затем для всех Группы Шевалле, с конструкцией, которая была немедленно обобщена на другие группы лиева типа, открытые вскоре после этого Стейнбергом, Судзуки и Ри. Над конечным полем характеристики п, представление Штейнберга имеет степень, равную наибольшей степени п разделение порядка группы.

Представление Стейнберга - это Дуал Алвиса – Кертиса тривиального одномерного представления.

Мацумото (1969), Шалика (1970), и Хариш-Чандра (1973) определены аналогичные представления Стейнберга (иногда называемые специальные представления) для алгебраических групп над местные поля. Для общая линейная группа GL (2) размерность Модуль Жаке особого представления всегда один.

Представление Стейнберга конечной группы

• Значение символа Ул. на элементе г равно, с точностью до знака, порядок Силовская подгруппа централизатора г если г имеет порядок первичный п, и равно нулю, если порядок г делится на п.
• Представление Стейнберга равно знакопеременной сумме по всем параболические подгруппы содержащий Подгруппа Бореля, представления, индуцированного из тождественного представления параболической подгруппы.
• Представление Стейнберга одновременно и регулярно, и всесильный, и является единственным неприводимым регулярным унипотентным представлением (для данного простого п).
• Представление Стейнберга используется при доказательстве Теорема Хабуша (гипотеза Мамфорда).

Большинство конечных простых групп имеют ровно одно представление Стейнберга. Некоторые имеют более одного, потому что они являются группами лиева типа более чем одним способом. Для симметрических групп (и других групп Кокстера) знаковое представление аналогично представлению Стейнберга. Некоторые из спорадических простых групп действуют как дважды транзитивные группы перестановок, поэтому имеют BN-пару, для которой можно определить представление Стейнберга, но для большинства спорадических групп нет известного аналога.

Представление Штейнберга п-адическая группа

Мацумото (1969), Шалика (1970), и Хариш-Чандра (1973) ввел представления Стейнберга для алгебраических групп над местные поля. Кассельман (1973) показал, что разные способы определения представлений Стейнберга эквивалентны.Борель и Серр (1976) и Борель (1976) показал, как реализовать представление Стейнберга в группе когомологий ЧАС^л
_c(Икс) из Здание Брюа – Титса группы.

использованная литература

• Борель, Арман (1976), "Допустимые представления полупростой группы над локальным полем с векторами, закрепленными под подгруппой Ивахори", Inventiones Mathematicae, 35: 233–259, Дои:10.1007 / BF01390139, ISSN  0020-9910, Г-Н  0444849
• Борель, Арман; Серр, Жан-Пьер (1976), "Cohomologie d'immeubles et de groupes S-arithmétiques", Топология. Международный журнал математики, 15 (3): 211–232, Дои:10.1016/0040-9383(76)90037-9, ISSN  0040-9383, Г-Н  0447474
• Bump, Дэниел (1997), Автоморфные формы и представления, Кембриджские исследования в области высшей математики, 55, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511609572, ISBN  978-0-521-55098-7, Г-Н  1431508
• Конечные группы типа лжи: классы сопряженности и сложные характеры (Библиотека классической литературы Wiley) Роджера В. Картера, John Wiley & Sons Inc; Новое издание Ed (август 1993 г.) ISBN  0-471-94109-3
• Кассельман, В. (1973), «Персонаж Стейнберга как истинный персонаж», у Мура, Кальвина К. (ред.), Гармонический анализ на однородных пространствах (Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972), Proc. Симпози. Чистая математика., XXVI, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 413–417, ISBN  978-0-8218-1426-0, Г-Н  0338273
• Хариш-Чандра (1973), "Гармонический анализ редуктивных p-адических групп", в Мур, Кальвин К. (ред.), Гармонический анализ на однородных пространствах (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972), Proc. Симпози. Чистая математика., XXVI, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 167–192, ISBN  978-0-8218-1426-0, Г-Н  0340486
• Мацумото, Хидэя (1969), «Сферы сферических функций для полупростых групп p-adique», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 269: A829 –– A832, ISSN  0151-0509, Г-Н  0263977
• Шалика, Дж. А. (1970), "О пространстве параболических форм P-адической группы Шевалле", Анналы математики, Вторая серия, 92 (2): 262–278, Дои:10.2307/1970837, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970837, Г-Н  0265514
• Стейнберг, Роберт (2001) [1994], «Модуль Штейнберга», Энциклопедия математики, EMS Press
• Стейнберг, Роберт (1951), "Геометрический подход к представлениям полной линейной группы над полем Галуа", Труды Американского математического общества, 71 (2): 274–282, Дои:10.1090 / S0002-9947-1951-0043784-0, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990691, Г-Н  0043784
• Стейнберг, Роберт (1956), «Представления конечной линейной группы в простой степени», Канадский математический журнал, 8: 580–591, Дои:10.4153 / CJM-1956-063-3, ISSN  0008-414X, Г-Н  0080669
• Стейнберг, Р. (1957), "Представления в простой степени конечных линейных групп II", Мочь. J. Math., 9: 347–351, Дои:10.4153 / CJM-1957-041-1
• Р. Штейнберг, Сборник статей, Амер. Математика. Soc. (1997) ISBN  0-8218-0576-2 стр. 580–586
• Хамфрис, Дж. Э. (1987), "Представление Стейнберга", Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.), 16 (2): 237–263, Дои:10.1090 / S0273-0979-1987-15512-1, Г-Н  0876960