Стохастическая транзитивность - Stochastic transitivity

Стохастическая транзитивность модели^[1][2][3][4] находятся стохастический версии транзитивность свойство бинарных отношений, изученное в математика. Существует несколько моделей стохастической транзитивности, которые использовались для описания вероятностей, участвующих в экспериментах парные сравнения, особенно в сценариях, где ожидается транзитивность, однако эмпирические наблюдения бинарного отношения являются вероятностными. Например, можно ожидать, что навыки игроков в спорте будут переходными, т.е. «если игрок A лучше, чем B, а B лучше, чем C, то игрок A должен быть лучше, чем C»; однако в любом конкретном матче более слабый игрок все равно может выиграть с положительной вероятностью. Точно подобранные игроки могут иметь больше шансов наблюдать эту инверсию, в то время как игроки с большими различиями в своих навыках могут видеть, что эти инверсии случаются редко. Модели стохастической транзитивности формализуют такие отношения между вероятностями (например, исхода матча) и лежащими в основе транзитивными отношениями (например, навыками игроков).

Бинарное отношение ${ textstyle succsim}$ на съемочной площадке ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ называется переходный, в стандарте нестохастический смысл, если${ displaystyle a succsim b}$ и ${ displaystyle b succsim c}$ подразумевает ${ displaystyle a succsim c}$для всех членов ${ displaystyle a, b, c}$ из ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Стохастик версии включают транзитивность включают:

1. Слабая стохастическая транзитивность (WST): ${ Displaystyle mathbb {P} (а succsim b) geq { tfrac {1} {2}}}$ и ${ Displaystyle mathbb {P} (b succsim c) geq { tfrac {1} {2}}}$ подразумевает ${ Displaystyle mathbb {P} (а succsim c) geq { tfrac {1} {2}}}$, для всех ${ displaystyle a, b, c in { mathcal {A}}}$;^{[5]:12[6]:43rg}
2. Сильная стохастическая транзитивность (SST): ${ Displaystyle mathbb {P} (а succsim b) geq { tfrac {1} {2}}}$ и ${ Displaystyle mathbb {P} (b succsim c) geq { tfrac {1} {2}}}$ подразумевает ${ Displaystyle mathbb {P} (a succsim c) geq max { mathbb {P} (a succsim b), mathbb {P} (b succsim c) }}$, для всех ${ displaystyle a, b, c in { mathcal {A}}}$;^[5]:12
3. Линейная стохастическая транзитивность (LST): ${ Displaystyle mathbb {P} (а succsim b) = F ( му (а) - му (b))}$, для всех ${ displaystyle a, b in { mathcal {A}}}$, куда ${ Displaystyle F: mathbb {R} to [0,1]}$ есть некоторые увеличение и симметричный^{[уточнить ]} функция (называемая функция сравнения), и ${ displaystyle mu: { mathcal {A}} to mathbb {R}}$ какое-то отображение из множества ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ альтернатив реальной линии (называемой функция заслуг).

Пример игрушки

Мраморная игра - Предположим, двое детей, Билли и Габриэла, собирают шарики. Билли коллекционирует синие шарики и зеленые шарики Габриэлы. Когда они собираются вместе, они играют в игру, в которой смешивают все свои шарики в сумке и выбирают один случайным образом. Если выбранный шарик зеленого цвета, то выигрывает Габриэла, а если он синий, то выигрывает Билли. Если ${ displaystyle B}$ это количество синих шариков и ${ displaystyle G}$ количество зеленых шариков в сумке, тогда вероятность ${ displaystyle mathbb {P} ({ text {Билли}} succsim { text {Габриэла}})}$ победы Билли над Габриэлой - это

${ displaystyle mathbb {P} ({ text {Billy}} succsim { text {Gabriela}}) = { frac {B} {B + G}} = { frac {e ^ { ln ( B)}} {e ^ { ln (B)} + e ^ { ln (G)}}} = { frac {1} {1 + e ^ { ln (G) - ln (B) }}}}$.

В этом примере мраморная игра удовлетворяет линейной стохастической транзитивности, где функция сравнения ${ Displaystyle F: mathbb {R} to [0,1]}$ дан кем-то ${ displaystyle F (x) = { frac {1} {1 + e ^ {- x}}}}$ и функция заслуг ${ displaystyle mu: { mathcal {A}} to mathbb {R}}$ дан кем-то ${ Displaystyle му (М) = пер (М)}$, куда ${ displaystyle M}$ - количество шариков игрока. Эта игра является примером Модель Брэдли – Терри.^[7]

Приложения

• Рейтинг и рейтинг - Модели стохастической транзитивности использовались в качестве основы для нескольких методов ранжирования и рейтинга. Примеры включают Система Эло-Рейтинг используется в шахматах, го и других классических видах спорта, а также в Microsoft TrueSkill используется для игровой платформы Xbox.

• Модели психологии и рациональности - Терстонские модели^[8] (см. случай 5 в закон сравнительного суждения ), Фехнеровские модели^[3] а также Аксиома выбора Люси^[9] являются теориями, основанными на математике стохастической транзитивности. Также модели теория рационального выбора основаны на предположении о транзитивности предпочтения (видеть Полезность фон Неймана и Теоремы Дебре ), эти предпочтения, однако, часто случайным образом выявляются шумом.^[10][11][12]

• Машинное обучение и искусственный интеллект (см. Учитесь ранжировать ) - В то время как Elo и TrueSkill полагаются на конкретные модели LST, модели машинного обучения были разработаны для ранжирования без предварительного знания базовой модели стохастической транзитивности или с более слабыми, чем обычно, предположениями о стохастической транзитивности.^[13][14][15] Обучение на основе парных сравнений также представляет интерес, поскольку позволяет агентам ИИ узнать основные предпочтения других агентов.

• Теория игры - Справедливость турниров со случайным нокаутом сильно зависит от лежащей в основе модели стохастической транзитивности.^[16][17][18] Теория социального выбора также имеет основы, которые зависят от моделей стохастической транзитивности.^[19]

Связи между моделями

Положительные результаты:

1. Каждая модель, удовлетворяющая линейной стохастической транзитивности, должна также удовлетворять сильной стохастической транзитивности, которая, в свою очередь, должна удовлетворять слабой стохастической транзитивности. Это представлено как: LST ${ displaystyle implies}$ SST${ displaystyle implies}$WST ;
2. Поскольку модели Брэдли-Терри и Турстанская модель 5^{[уточнить ]} находятся LST модели, они также удовлетворяют SST и WST;
3. Благодаря удобству более структурированные модели^{[уточнить ]}, несколько авторов^{[1][2][3][4][20][21]} определили аксиоматику оправдания^{[уточнить ]} линейной стохастической транзитивности (и других моделей), в первую очередь Жерар Дебре показало, что^[22] : Четверное условие^{[уточнить ]} + Непрерывность^{[уточнить ]} ${ displaystyle implies}$ LST (смотрите также Теоремы Дебре );
4. Две модели LST предоставлены обратимый функции сравнения ${ Displaystyle F (х)}$ и ${ Displaystyle G (х)}$ находятся эквивалент^{[уточнить ]} если и только если ${ Displaystyle F (х) = г ( каппа х)}$для некоторых ${ displaystyle kappa geq 0.}$^[23]

Отрицательные результаты:

1. Модели стохастической транзитивности эмпирически непроверяемый^{[уточнить ]},^[4] однако они могут быть фальсифицированы;
2. Различать^{[уточнить ]} между LST функции сравнения ${ Displaystyle F (х)}$ и ${ Displaystyle G (х)}$ может быть невозможно, даже если бесконечное количество данных предоставляется по конечному числу точки^{[уточнить ]};^[24]
3. В проблема оценки^{[уточнить ]} за WST, SST и LST модели в целом NP-Hard, ^[25] однако известны процедуры оценивания, близкие к оптимальным, полиномиально вычислимые для SST и LST модели.^[13][14][15]

Смотрите также

• Нетранзитивная игра
• Теория принятия решений
• Утилитаризм

Рекомендации