Симметричная арифметика индекса уровня - Википедия - Symmetric level-index arithmetic

В индекс уровня (LI) представление чисел и его алгоритмы за арифметика операции, были введены Чарльзом Кленшоу и Фрэнк Олвер в 1984 г.^[1]

Симметричная форма системы LI и ее арифметические операции были представлены Кленшоу и Питером Тернером в 1987 году.^[2]

Майкл Анюта, Даниэль Лозье, Николас Шабанель и Тернер разработали алгоритм для симметричный индекс уровня (SLI) арифметика и ее параллельная реализация. Была проведена обширная работа по разработке арифметических алгоритмов SLI и их распространению на сложный и вектор арифметические операции.

Определение

Идея системы индекса уровня состоит в том, чтобы представить неотрицательный настоящий номер Икс в качестве

${ displaystyle X = e ^ {e ^ {e ^ { cdots ^ {e ^ {f}}}}}}$

куда ${ Displaystyle 0 Leq F <1}$ и процесс возведения в степень выполняется ℓ раз, с ${ displaystyle ell geq 0}$. ℓ и ж являются уровень и индекс из Икс соответственно. Икс = ℓ + ж это LI образ Икс. Например,

${ displaystyle X = 1234567 = e ^ {e ^ {e ^ {0.9711308}}}}$

так что его образ LI

${ displaystyle x = ell + f = 3 + 0,9711308 = 3,9711308.}$

Симметричная форма используется, чтобы разрешить отрицательные показатели, если величина Икс меньше 1. Один берет sgn (бревно(Икс)) или же sgn (|Икс| − |Икс|⁻¹) и сохраняет его (после замены знака обратного нуля на +1, поскольку для Икс = 1 = е⁰ изображение LI Икс = 1.0 и однозначно определяет Икс=1 и мы можем обойтись без третьего состояния и использовать только один бит для двух состояний -1 и +1) в качестве обратного знака р_Икс. Математически это эквивалентно взятию взаимный (мультипликативная обратная величина) небольшого числа, а затем найти изображение SLI для обратной величины. Использование одного бита для обратного знака позволяет представлять очень маленькие числа.

А знаковый бит также может использоваться для разрешения отрицательных чисел. Один берет sgn (X) и сохраняет его (после замены знака +1 на 0, поскольку для Икс = 0 изображение LI Икс = 0.0 и однозначно определяет Икс = 0 и мы можем обойтись без третьего состояния и использовать только один бит для двух состояний -1 и +1) в качестве знака s_Икс. Математически это эквивалентно взятию обратного (аддитивного обратного) отрицательного числа, а затем нахождению изображения SLI для обратного. Использование одного бита для знака позволяет представлять отрицательные числа.

Функция отображения называется функция обобщенного логарифма. Он определяется как

${ displaystyle psi (X) = { begin {case} X & { text {if}} 0 leq X <1 1+ psi ( ln X) & { text {if}} X geq 1 end {case}}}$

и это отображает ${ displaystyle [0, infty)}$ на себя монотонно и, следовательно, обратим на этом интервале. Обратное, обобщенная экспоненциальная функция, определяется

${ displaystyle varphi (x) = { begin {case} x & { text {if}} 0 leq x <1 e ^ { varphi (x-1)} & { text {if}} x geq 1 end {case}}}$

Плотность ценностей Икс представлена Икс не имеет разрывов при переходе с уровня ℓ к ℓ + 1 (очень желанная недвижимость), поскольку:

${ displaystyle left. { frac {d varphi (x)} {dx}} right | _ {x = 1} = left. { frac {d varphi (e ^ {x})} { dx}} right | _ {x = 0}.}$

Функция обобщенного логарифма тесно связана с функцией повторный логарифм используется в компьютерном анализе алгоритмов.

Формально мы можем определить представление SLI для произвольного вещественного Икс (не 0 или 1) как

${ Displaystyle X = s_ {X} varphi (x) ^ {r_ {X}}}$

куда s_Икс знак (аддитивная инверсия или нет) Икс и р_Икс является обратным знаком (мультипликативная инверсия или нет), как в следующих уравнениях:

${ displaystyle s_ {X} = operatorname {sgn} (X), , r_ {X} = operatorname {sgn} (| X | - | X | ^ {- 1}), , x = psi ( max (| X |, | X | ^ {- 1})) = psi (| X | ^ {r_ {X}})}$

тогда как для Икс = 0 или 1, имеем:

${ Displaystyle s_ {0} = + 1, r_ {0} = + 1, x = 0,0, ,}$

${ displaystyle s_ {1} = + 1, r_ {1} = + 1, x = 1.0. ,}$

Например,

${ displaystyle X = - { dfrac {1} {1234567}} = - e ^ {- e ^ {e ^ {0.9711308}}}}$

и его представление SLI

${ displaystyle x = - varphi (3.9711308) ^ {- 1}.}$

Смотрите также

• Тетрация
• Плавающая точка (FP)
• Коническая плавающая точка (TFP)
• Логарифмическая система счисления (LNS)
• Уровень (логарифмическая величина)

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кленшоу, Чарльз Уильям; Олвер, Фрэнк Уильям Джон; Тернер, Питер Р. (1989). «Арифметика индекса-уровня: вводный обзор». Численный анализ и параллельная обработка (Материалы конференции / Ланкастерская летняя школа численного анализа 1987 г.). Конспект лекций по математике (LNM). 1397: 95–168. Дои:10.1007 / BFb0085718.
• Кленшоу, Чарльз Уильям; Тернер, Питер Р. (1989-06-23) [1988-10-04]. «Возведение в квадрат корня с использованием арифметики индекса и уровня». Вычисление. Springer-Verlag. 43 (2): 171–185. ISSN  0010-485X.
• Зехенднер, Эберхард (лето 2008 г.). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (Сценарий лекции) (на немецком языке). Фридрих-Шиллер-Университет Йены. С. 21–22. В архиве (PDF) из оригинала 2018-07-09. Получено 2018-07-09. [1]
• Хейс, Брайан (сентябрь – октябрь 2009 г.). «Высшая арифметика». Американский ученый. 97 (5): 364–368. Дои:10.1511/2009.80.364. В архиве из оригинала 2018-07-09. Получено 2018-07-09. [2]. Также перепечатано в: Хейс, Брайан (2017). «Глава 8: Высшая арифметика». Защита от дурака и другие математические медитации (1-е изд.). MIT Press. С. 113–126. ISBN  978-0-26203686-3. ISBN  0-26203686-X.

внешняя ссылка

• sl-c-library (размещена в Google Code), "Реализация симметричной арифметики уровня и индекса в C ++".