Индекс Торнквиста - Törnqvist index

В экономика, то Индекс Торнквиста это цена или же количественный индекс. На практике значения индекса Торнквиста рассчитываются для последовательных периодов, затем они связываются вместе, или "прикованный ". Таким образом, основной расчет не относится к одному базисному году.

Вычисление

Индекс цен за некоторый период обычно нормализуется до 1 или 100, и этот период называется «базовым периодом».

Индекс цен Торнквиста или Торнквиста-Тейла - это взвешенный среднее геометрическое родственников цен с использованием средние арифметические стоимости делятся на два периода как веса.^[1]

Используемые данные представляют собой цены и количество в двух периодах времени (t-1) и (t) для каждого из п товары, которые индексируются я.

Если обозначить цену товара я в момент t-1 ${ displaystyle p_ {я, т-1}}$, и аналогично определим ${ Displaystyle q_ {я, т}}$ быть количеством купленного товара я в момент времени t индекс цен Торнквиста ${ displaystyle P_ {t}}$ в момент времени t можно рассчитать следующим образом:^[2]

${ displaystyle { frac {P_ {t}} {P_ {t-1}}} = prod _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac {p_ {i, t}} {p_ {i, t-1}}} right) ^ {{ frac {1} {2}} left [{ frac {p_ {i, t-1} q_ {i, t-1}}} { сумма _ {j = 1} ^ {n} left (p_ {j, t-1} q_ {j, t-1} right)}} + { frac {p_ {i, t} q_ {i, t}} { sum _ {j = 1} ^ {n} left (p_ {j, t} q_ {j, t} right)}} right]}}$

Знаменатели в экспоненте представляют собой суммы общих расходов в каждом из двух периодов. Это можно более компактно выразить в виде векторные обозначения. Позволять ${ displaystyle p_ {t-1}}$ обозначим вектор всех цен в момент времени t-1 и аналогично определим векторы ${ displaystyle q_ {t-1}}$, ${ displaystyle p_ {t}}$, и ${ displaystyle q_ {t}}$. Тогда приведенное выше выражение можно переписать:

${ displaystyle { frac {P_ {t}} {P_ {t-1}}} = prod _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac {p_ {it}} {p_ {i) , t-1}}} right) ^ {{ frac {1} {2}} left [{ frac {p_ {i, t-1} q_ {i, t-1}}} {p_ {t -1} cdot q_ {t-1}}} + { frac {p_ {i, t} q_ {i, t}} {p_ {t} cdot q_ {t}}} right]}}$

Обратите внимание, что во втором выражении общий показатель - это средняя доля расходов на товар i за два периода. Индекс Торнквиста одинаково взвешивает переживания за два периода, поэтому его называют симметричный индекс. Обычно эта доля не сильно меняется; например расходы на питание в миллионе домохозяйств могут составлять 20% дохода в один период и 20,1% в следующий период.

На практике индексы Торнквиста часто вычисляются с использованием уравнения, которое получается из журналы обеих сторон, как в выражении ниже, которое вычисляет то же ${ displaystyle P_ {t}}$ как и выше.^[3]

${ displaystyle ln { frac {P_ {t}} {P_ {t-1}}} = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ гидроразрыв {p_ {i, t-1} q_ {i, t-1}} {p_ {t-1} q_ {t-1}}} + { frac {p_ {i, t} q_ {i, t }} {p_ {t} q_ {t}}} right) ln left ({ frac {p_ {i, t}} {p_ {i, t-1}}} right)}$

Количественный индекс Торнквиста можно рассчитать аналогично, используя цены для весов. Количественные индексы используются при вычислении агрегированных индексов физического «капитала», объединяющих оборудование и структуры разных типов в один временной ряд. Замена p на q и q на p дает уравнение для индекса количества:

${ displaystyle { frac {Q_ {t}} {Q_ {t-1}}} = prod _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac {q_ {i, t}} {q_ {i, t-1}}} right) ^ {{ frac {1} {2}} left [{ frac {p_ {i, t-1} q_ {i, t-1}}} { сумма _ {j = 1} ^ {n} left (p_ {j, t-1} q_ {j, t-1} right)}} + { frac {p_ {i, t} q_ {i, t}} { sum _ {j = 1} ^ {n} left (p_ {j, t} q_ {j, t} right)}} right]}}$

Если нужны согласованные индексы количества и цен, их можно рассчитать непосредственно из этих уравнений, но чаще всего рассчитывают индекс цен путем деления общих расходов за каждый период на количественный индекс, чтобы полученные индексы умножались на общие расходы. Такой подход называется косвенный способ расчета индекса Торнквиста,^[4] и он генерирует числа, которые не совсем совпадают с прямым вычислением. Существует исследование того, какой метод использовать, отчасти в зависимости от того, являются ли изменения цен или изменения количества более волатильными.^[4] За многофакторная производительность В расчетах используется косвенный метод.

Индексы Торнквиста близки к цифрам, приведенным Индекс Фишера.^[4][5][6] На практике иногда предпочтительнее использовать индекс Фишера, потому что он работает с нулевыми количествами без особых исключений, тогда как в приведенных выше уравнениях нулевое количество привело бы к нарушению расчета индекса Торнквиста.

Теория

Индекс Торнквиста - это дискретное приближение к непрерывной Индекс дивизии. Индекс Divisia - это теоретическая конструкция, взвешенная за непрерывное время сумма темпов роста различных компонентов, где веса - это доли компонента в общей стоимости. Для индекса Торнквиста темпы роста определяются как разница в натуральные логарифмы последовательных наблюдений за компонентами (т. е. их логарифмического изменения), а веса равны среднему значению долей факторов компонентов в соответствующей паре периодов (обычно лет). Индексы дивизионного типа имеют преимущества перед взвешенными индексами на основе постоянного базового года, поскольку при изменении относительных цен на ресурсы они включают изменения как в закупленных количествах, так и в относительных ценах. Например, индекс Торнквиста, суммирующий затраты труда, может взвешивать темпы роста количества часов каждой группы рабочих по доле получаемой ими оплаты труда.^[7]

Индекс Торнквиста - это превосходный индекс, что означает, что он может аппроксимировать любой гладкий производство или же функция стоимости. «Плавный» здесь означает, что небольшие изменения относительных цен на товар будут связаны с небольшими изменениями в его количестве. Торнквист точно соответствует производственная функция транслога Это означает, что при изменении цен и оптимальной реакции в количестве, уровень индекса изменится точно так же, как изменение производства или полезности. Чтобы выразить эту мысль, Диверт (1978) использует эту формулировку, которую теперь признают другие экономисты: процедура индекса Торнквиста «точна для» транслогарифмической производственной функции или функции полезности.^[5] По этой причине термин индекс транслога иногда используется для индекса Торнквиста.

Индекс Торнквиста приблизительно "согласован в агрегирование ", что означает, что почти одинаковые значения индексов возникают в результате (а) объединения многих цен и количеств вместе или (б) объединения их подгрупп вместе с последующим объединением этих индексов. Для некоторых целей (например, для больших годовых агрегатов) это рассматривается достаточно последовательной, а для других (например, ежемесячных изменений цен) - нет.^[5]

История и использование

Теория индекса Торнквиста приписывается Лео Торнквист (1936), возможно, работая с другими в Банк Финляндии.^[8][9]

Индексы Торнквиста используются в различных официальных статистических данных о ценах и производительности.^{[10][11][12][13]}

Временные периоды могут быть годами, как в многофакторной статистике производительности, или месяцами, как в США. Привязанный CPI.^[12]

Рекомендации

Смотрите также

• Список формул индекса цен