Лемма Тейхмюллера – Тьюки. - Teichmüller–Tukey lemma

В математике Лемма Тейхмюллера – Тьюки. (иногда называют просто Лемма Тьюки), названный в честь Джон Тьюки и Освальд Тайхмюллер, это лемма который утверждает, что каждая непустая коллекция конечный характер имеет максимальный элемент относительно включение. Над Теория множеств Цермело – Френкеля, лемма Тейхмюллера – Тьюки эквивалентна аксиома выбора, а значит, и теорема о хорошем порядке, Лемма Цорна, а Принцип максимума Хаусдорфа.^[1]

Определения

Семейство наборов ${displaystyle {mathcal {F}}}$ имеет конечный характер при условии, что он обладает следующими свойствами:

1. Для каждого ${displaystyle Ain {mathcal {F}}}$, каждый конечный подмножество из ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$.
2. Если каждое конечное подмножество данного множества ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$, тогда ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$.

Утверждение леммы

Позволять ${displaystyle Z}$ быть набором и пусть ${displaystyle {mathcal {F}} substeq {mathcal {P}} (Z)}$. Если ${displaystyle {mathcal {F}}}$ носит конечный характер и ${displaystyle Xin {mathcal {F}}}$, то существует максимальное ${displaystyle Yin {mathcal {F}}}$ (согласно соотношению включения) такая, что ${displaystyle Xsubseteq Y}$.^[2]

Приложения

В линейная алгебра, лемма может быть использована для доказательства существования основа. Позволять V быть векторное пространство. Рассмотрим коллекцию ${displaystyle {mathcal {F}}}$ из линейно независимый наборы векторов. Это собрание конечный характер. Таким образом, существует максимальное множество, которое тогда должно охватывать V и быть основой для V.

Примечания

Рекомендации

• Бриллинджер, Дэвид Р. "Джон Уайлдер Тьюки" [1]