Трансформация модели тензорного продукта - Tensor product model transformation

В математике тензорное произведение (TP) преобразование модели был предложен Бараньи и Ямом^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] в качестве ключевой концепции для разложения функций по сингулярным значениям более высокого порядка. Он преобразует функцию (которую можно задать через закрытые формулы или нейронные сети, нечеткая логика и т. д.) в виде функции TP, если такое преобразование возможно. Если точное преобразование невозможно, то метод определяет функцию TP, которая является приближением данной функции. Следовательно, преобразование модели TP может обеспечить компромисс между точностью аппроксимации и сложностью.^[6]

Бесплатный MATLAB реализацию трансформации модели ТП можно скачать по адресу [1] или старая версия набора инструментов доступна по адресу MATLAB Центральная [2]. Ключевым фактором трансформации является разложение по сингулярным числам высшего порядка.^[7]

Помимо преобразования функций, преобразование модели TP также является новой концепцией в управлении на основе qLPV, которая играет центральную роль в обеспечении ценных средств связи между теориями идентификации и политопическими системами. Преобразование модели TP уникально эффективно при манипулировании выпуклой оболочкой многогранных форм, и в результате было выявлено и доказано, что манипулирование выпуклой оболочкой является необходимым и решающим шагом в достижении оптимальных решений и снижении консервативности.^[8]^[9]^[2] в современной теории управления на основе LMI. Таким образом, хотя это преобразование в математическом смысле, оно установило концептуально новое направление в теории управления и заложило основу для дальнейших новых подходов к оптимальности. Более подробную информацию о теоретических аспектах управления преобразованием модели TP можно найти здесь: Преобразование модели ТП в теории управления.

Преобразование модели TP послужило основанием для определения «канонической формы HOSVD функций TP»,^[10] на котором можно найти дополнительную информацию Вот. Доказано, что преобразование модели ТП способно численно восстановить эту HOSVD основанная на канонической форме.^[11] Таким образом, преобразование модели TP можно рассматривать как численный метод вычисления HOSVD функций, который обеспечивает точные результаты, если данная функция имеет структуру функции TP, и приближенные результаты в противном случае.

Преобразование модели TP недавно было расширено с целью получения различных типов выпуклых функций TP и управления ими.^[3] Эта функция привела к новым подходам к оптимизации в анализе и проектировании системы qLPV, как описано здесь: Преобразование модели ТП в теории управления.

Определения

Функция конечных элементов TP: Данная функция ${ displaystyle f ({ mathbf {x}})}$ , где ${ displaystyle mathbf {x} in R ^ {N}}$ , является функцией TP, если она имеет структуру:

{ displaystyle f ( mathbf {x}) = sum _ {i_ {1} = 1} ^ {I_ {1}} sum _ {i_ {2} = 1} ^ {I_ {2}} ldots sum _ {i_ {N} = 1} ^ {I_ {N}} prod _ {n = 1} ^ {N} w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) s_ {i_ {1 }, i_ {2}, ldots, i_ {N}},}

то есть, используя компактные тензорные обозначения (используя тензорное произведение операция ${ displaystyle otimes}$ из ^[7] ):

{ Displaystyle е ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} mathop { otimes} _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n}) ,}

где тензор ядра ${ displaystyle { mathcal {S}} in { mathcal {R}} ^ {I_ {1} times I_ {2} times ldots times I_ {N}}}$ построен из ${ displaystyle s_ {i_ {1} i_ {2} ldots i_ {N}}}$ , и вектор-строка ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n}), (n = 1 ldots N)}$ содержит непрерывные одномерные весовые функции ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}), (i_ {n} = 1 ldots I_ {n})}$ . Функция ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n})}$ это ${ displaystyle i_ {n}}$ -я весовая функция, определенная на ${ displaystyle n}$ -е измерение и ${ displaystyle x_ {n}}$ это ${ displaystyle n}$ -элемент вектора ${ displaystyle mathbf {x}}$ . Конечный элемент означает, что ${ displaystyle I_ {n}}$ ограничен для всех ${ displaystyle n}$ . Для приложений моделирования и управления qLPV более высокая структура функций TP называется моделью TP.

Конечно-элементная модель TP (коротко модель TP): Это более высокая структура функции TP:

{ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n }).}

Вот ${ Displaystyle { mathcal {Y}} = { mathcal {F}} ({ mathbf {x}})}$ тензор как ${ displaystyle { mathcal {Y}} in { mathcal {R}} ^ {L_ {1} times L_ {2} times ldots L_ {O}}}$ , таким образом, размер основного тензора равен ${ displaystyle { mathcal {S}} in { mathcal {R}} ^ {I_ {1} times I_ {2} times ldots times I_ {N} times L_ {1} times L_ {2} times ... times L_ {O}}}$ . Оператор продукта ${ displaystyle boxtimes}$ играет ту же роль, что и ${ displaystyle otimes}$ , но выражает тот факт, что тензорное произведение применяется к ${ displaystyle L_ {1} times L_ {2} times ... times L_ {O}}$ размерные тензорные элементы основного тензора ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ . Вектор ${ displaystyle mathbf {x}}$ является элементом замкнутого гиперкуба ${ displaystyle Omega = [a_ {1}, b_ {1}] times [a_ {2}, b_ {2}] times ... times [a_ {N}, b_ {N}] subset R ^ {N}}$ .

Выпуклая функция или модель конечных элементов TP: Функция или модель TP является выпуклой, если выполняются wighting-функции:

{ displaystyle forall n: sum _ {i_ {n} = 1} ^ {I_ {n}} w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) = 1}

и

{ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) in [0,1].}

Это значит, что ${ Displaystyle е ( mathbf {х})}$ находится внутри выпуклой оболочки, определяемой тензором ядра для всех ${ displaystyle mathbf {x} in Omega}$ .

Трансформация модели ТП: Предположим данную модель TP ${ Displaystyle { mathcal {Y}} = { mathcal {F}} ( mathbf {x})}$ , где ${ displaystyle mathbf {x} in Omega subset R ^ {N}}$ , чья структура TP может быть неизвестна (например, задана нейронными сетями). Преобразование модели TP определяет ее структуру TP как

{ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n })}

,

а именно он генерирует основной тензор ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ и весовые функции ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n})}$ для всех ${ Displaystyle п = 1 ldots N}$ . Это бесплатно MATLAB реализация доступна для скачивания по адресу [3] или в MATLAB Центральная [4].

Если данный ${ Displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x})}$ не имеет структуры TP (т.е. не входит в класс моделей TP), то преобразование модели TP определяет ее аппроксимацию:^[6]

{ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) приблизительно { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ { n}),}

где за счет преобразования модели TP предлагается компромисс между сложностью (количество компонентов в основном тензоре или количество весовых функций) и точностью аппроксимации. Модель TP может быть сгенерирована в соответствии с различными ограничениями. Типичные модели TP, генерируемые преобразованием модели TP:

HOSVD каноническая форма функций TP или модель TP (модели qLPV),
Различные виды политопных форм типа TP или выпуклых модельных форм TP (это преимущество используется при анализе и проектировании системы qLPV).

Свойства преобразования модели TP

Это неэвристический и управляемый численный метод, впервые предложенный в теории управления.^[1]^[4]
Он преобразует данную функцию в конечно-элементную структуру TP. Если эта структура не существует, то преобразование дает приближение при ограничении на количество элементов.
Он может выполняться единообразно (независимо от того, дана ли модель в виде аналитических уравнений, вытекающих из физических соображений, или как результат методов идентификации на основе мягких вычислений (таких как нейронные сети или методы на основе нечеткой логики, или в результате идентификация в виде черного ящика), без аналитического взаимодействия, в разумные сроки.Таким образом, преобразование заменяет аналитические и во многих случаях сложные и неочевидные преобразования в числовые, понятные и простые операции.
Он генерирует каноническую форму функций TP на основе HOSVD,^[10] что является уникальным представлением. Это было доказано Зейдлем. ^[11] что преобразование модели TP численно восстанавливает HOSVD функций. Эта форма извлекает уникальную структуру данной функции TP в том же смысле, что и HOSVD выполняется для тензоров и матриц таким образом, чтобы:

количество весовых функций минимизировано по размерности (отсюда и размер основного тензора);
весовые функции - это функции одной переменной вектора параметров в ортонормированной системе для каждого параметра (сингулярные функции);
субтензоры основного тензора также находятся в ортогональных положениях;
основной тензор и весовые функции упорядочиваются в соответствии с сингулярными значениями более высокого порядка вектора параметров;
он имеет уникальную форму (за исключением некоторых особых случаев, таких как одинаковые сингулярные значения);
вводит и определяет ранг функции TP по размерностям вектора параметров;

Вышеупомянутый пункт может быть распространен на модели TP (модели qLPV для определения HOSVD основанная на канонической форме модели qLPV, чтобы упорядочить основной компонент модели qLPV). Поскольку тензор ядра равен ${ displaystyle N + O}$ габаритные, но весовые функции определены только для габаритов ${ Displaystyle п = 1 ldots N}$ , а именно базовый тензор строится из ${ displaystyle O}$ размерных элементов, поэтому полученная форма TP не уникальна.
Основной этап преобразования модели TP был расширен для создания различных типов выпуклых функций TP или моделей TP (политопические модели qLPV типа TP), чтобы сосредоточиться на систематической (числовой и автоматической) модификации выпуклой оболочки вместо разработки новых Уравнения LMI для проектирования возможных регуляторов (это широко распространенный подход). Стоит отметить, что как преобразование модели TP, так и методы проектирования элементов управления на основе LMI выполняются численно один за другим, и это делает возможным решение широкого класса проблем простым и понятным численным способом.
Преобразование модели TP позволяет найти компромисс между сложностью и точностью функций TP. ^[6] посредством отбрасывания сингулярных значений более высокого порядка, таким же образом, как тензор HOSVD используется для уменьшения сложности.

использованная литература

^ ^а ^б П. Бараньи (апрель 2004 г.). «Трансформация модели TP как способ проектирования контроллера на основе LMI». IEEE Transactions по промышленной электронике. 51 (2): 387–400. Дои:10.1109 / tie.2003.822037.
^ ^а ^б Бараньи, Петер (2016). Основы проектирования элементов управления на основе преобразования TP-модели. Дои:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.
^ ^а ^б Бараньи, Питер (2014). "Преобразование обобщенной модели TP для манипуляции с нечеткой моделью T – S и проверки обобщенной устойчивости". Транзакции IEEE в нечетких системах. 22 (4): 934–948. Дои:10.1109 / TFUZZ.2013.2278982.
^ ^а ^б П. Бараньи, Д. Тикк, Ю. Ям и Р. Дж. Паттон (2003). «От дифференциальных уравнений к проектированию контроллера PDC посредством численного преобразования». Компьютеры в промышленности. 51 (3): 281–297. Дои:10.1016 / s0166-3615 (03) 00058-7.
^ П. Бараньи; Ю. Ям и П. Варлаки (2013). Трансформация модели тензорного продукта в управлении на основе политопной модели. Бока-Ратон, Флорида: Тейлор и Фрэнсис. п. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.
^ ^а ^б ^c Д. Тикк, П. Бараньи, Р. Дж. Паттон (2007). «Аппроксимационные свойства форм модели TP и их последствия для проектирования TPDC». Азиатский журнал контроля. 9 (3): 221–331. Дои:10.1111 / j.1934-6093.2007.tb00410.x.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
^ ^а ^б Ливен Де Латхауэр и Барт Де Мур и Джоос Вандевалль (2000). «Полилинейное разложение по сингулярным числам». Журнал по матричному анализу и приложениям. 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.3.4043. Дои:10.1137 / s0895479896305696.
^ А.Соллози, П. Бараньи (2016). Влияние модели тензорного произведения моделей qLPV на выполнимость линейного матричного неравенства. Азиатский журнал контроля, 18 (4), 1328-1342
^ A. Szöllsi и P. Baranyi: «Улучшенные характеристики управления аэроупругой секцией крыла с 3 степенями свободы: оптимизация характеристик 2D параметрического управления на основе модели TP». в Asian Journal of Control, 19 (2), 450-466. / 2017
^ ^а ^б П. Бараньи, Л. Зейдл, П. Варлаки и Ю. Ям (3–5 июля 2006 г.). Определение канонической формы политопных динамических моделей на основе HOSVD. Будапешт, Венгрия. С. 660–665.
^ ^а ^б Л. Зейдл и П. Варлаки (2009). «Каноническая форма на основе HOSVD для политопических моделей динамических систем». Журнал расширенного вычислительного интеллекта и интеллектуальной информатики. 13 (1): 52–60. Дои:10.20965 / jaciii.2009.p0052.

Бараньи, П. (2018). Распространение преобразования модели Multi-TP на функции с различным числом переменных. Сложность, 2018.

внешние ссылки

TP Tool - главная

[Baranyi04-1] а ^б П. Бараньи (апрель 2004 г.). «Трансформация модели TP как способ проектирования контроллера на основе LMI». IEEE Transactions по промышленной электронике. 51 (2): 387–400. Дои:10.1109 / tie.2003.822037.

[springer.com-2] а ^б Бараньи, Петер (2016). Основы проектирования элементов управления на основе преобразования TP-модели. Дои:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.

[P._Baranyi_2014,_pp._934-948-3] а ^б Бараньи, Питер (2014). "Преобразование обобщенной модели TP для манипуляции с нечеткой моделью T – S и проверки обобщенной устойчивости". Транзакции IEEE в нечетких системах. 22 (4): 934–948. Дои:10.1109 / TFUZZ.2013.2278982.

[compind-4] а ^б П. Бараньи, Д. Тикк, Ю. Ям и Р. Дж. Паттон (2003). «От дифференциальных уравнений к проектированию контроллера PDC посредством численного преобразования». Компьютеры в промышленности. 51 (3): 281–297. Дои:10.1016 / s0166-3615 (03) 00058-7.

[ykc00-5] П. Бараньи; Ю. Ям и П. Варлаки (2013). Трансформация модели тензорного продукта в управлении на основе политопной модели. Бока-Ратон, Флорида: Тейлор и Фрэнсис. п. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.

[ykc01-6] а ^б ^c Д. Тикк, П. Бараньи, Р. Дж. Паттон (2007). «Аппроксимационные свойства форм модели TP и их последствия для проектирования TPDC». Азиатский журнал контроля. 9 (3): 221–331. Дои:10.1111 / j.1934-6093.2007.tb00410.x.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

[Lath00-7] а ^б Ливен Де Латхауэр и Барт Де Мур и Джоос Вандевалль (2000). «Полилинейное разложение по сингулярным числам». Журнал по матричному анализу и приложениям. 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.3.4043. Дои:10.1137 / s0895479896305696.

[8] А.Соллози, П. Бараньи (2016). Влияние модели тензорного произведения моделей qLPV на выполнимость линейного матричного неравенства. Азиатский журнал контроля, 18 (4), 1328-1342

[9] A. Szöllsi и P. Baranyi: «Улучшенные характеристики управления аэроупругой секцией крыла с 3 степенями свободы: оптимизация характеристик 2D параметрического управления на основе модели TP». в Asian Journal of Control, 19 (2), 450-466. / 2017

[canon1-10] а ^б П. Бараньи, Л. Зейдл, П. Варлаки и Ю. Ям (3–5 июля 2006 г.). Определение канонической формы политопных динамических моделей на основе HOSVD. Будапешт, Венгрия. С. 660–665.

[canon3-11] а ^б Л. Зейдл и П. Варлаки (2009). «Каноническая форма на основе HOSVD для политопических моделей динамических систем». Журнал расширенного вычислительного интеллекта и интеллектуальной информатики. 13 (1): 52–60. Дои:10.20965 / jaciii.2009.p0052.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]