Тракл - Википедия - Thrackle

А бить является встраивание из график на плоскости, так что каждое ребро Иорданская дуга и каждая пара ребер пересекается ровно один раз. Ребра могут встречаться либо в общей конечной точке, либо, если у них нет общих конечных точек, в точке внутри их. В последнем случае переход должен быть поперечный.[1]

Линейные треки

А линейная тяга представляет собой раму, нарисованную таким образом, что ее края представляют собой отрезки прямых линий. У каждого линейного трека не более чем столько же ребер, сколько вершин, факт, который наблюдал Пол Эрдёш. Эрдеш заметил, что если вершина v связан с тремя или более ребрами vw, vx, и вы в линейном тракте хотя бы одно из этих ребер лежит на линии, разделяющей два других ребра; без ограничения общности предположим, что vw такое ребро, с Икс и у лежащих в противоположных замкнутых полупространствах, ограниченных прямой vw. Потом, ш должны быть степень один, потому что нет другого края, кроме vw можно коснуться обоих vx и вы. Удаление ш от thrackle производит меньший thrackle, без изменения разницы между количеством ребер и вершин. С другой стороны, если каждая вершина имеет не более двух соседей, то по лемма о рукопожатии количество ребер не превосходит количество вершин.[2] Основываясь на доказательстве Эрдеша, можно сделать вывод, что каждый линейный трэкл является псевдолес. Каждый цикл нечетной длины может быть скомпонован так, чтобы сформировать линейную цепочку, но это невозможно для цикла четной длины, потому что, если одно ребро цикла выбрано произвольно, тогда другие вершины цикла должны попеременно лежать на противоположных сторонах линии. через этот край.

Миха Перлес предоставил еще одно простое доказательство того, что линейные треки имеют не более п ребра, основанные на том факте, что в линейном треке каждое ребро имеет конечную точку, в которой ребра охватывают угол не более 180 °, и для которой это крайнее крайнее положение по часовой стрелке в этом интервале. В противном случае было бы два ребра, инцидентных противоположным концам ребра и лежащих на противоположных сторонах линии, проходящей через край, которые не могли бы пересекать друг друга. Но каждая вершина может обладать этим свойством только по отношению к одному ребру, поэтому количество ребер не более чем равно количеству вершин.[3]

Как также заметил Эрдеш, множество пар точек, реализующих диаметр набора точек должны образовывать линейный переход: никакие два диаметра не могут быть отделены друг от друга, потому что, если бы они были, то их четыре конечные точки имели бы пару на большем расстоянии друг от друга, чем два непересекающихся ребра. По этой причине каждый набор п точки на плоскости могут иметь не более п диаметральные пары, отвечая на вопрос, поставленный в 1934 г. Хайнц Хопф и Эрика Паннвиц.[4] Эндрю Вазсоний гипотетические оценки количества пар диаметров в высших измерениях, обобщающие эту проблему.[2]

В вычислительная геометрия, метод вращающиеся суппорты может быть использован для формирования линейного трека из любого набора точек в выпуклое положение, соединяя пары точек, поддерживающих параллельные прямые, касательные к выпуклый корпус точек.[5] Этот граф содержит в качестве подграфа цепочку пар диаметров.[6]

Перечисление линейных треков может быть использовано для решения самый большой маленький многоугольник проблема, найти п-угольник с максимальной площадью относительно его диаметра.[7]

Гипотеза Тракла

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Может ли у thrackle быть больше ребер, чем вершин?
(больше нерешенных задач по математике)
Тракл-вложение 6-периодного графа.

Джон Х. Конвей предположил, что в любом треке количество ребер не более чем равно количеству вершин. Сам Конвей использовал терминологию пути и пятна (за края и вершины соответственно), поэтому Гипотеза Конвея изначально было заявлено в виде у каждого толчка есть как минимум столько же пятен, сколько и тропинок. Конвей предложил приз в размере 1000 долларов за доказательство или опровержение этой гипотезы в рамках набора призовых задач, в том числе 99-графовая проблема Конвея, минимальный интервал Наборы Danzer, и победитель Серебряная чеканка после хода 16.[8]

Точно так же гипотезу Тракла можно сформулировать как каждый thrackle это псевдолес. Более конкретно, если гипотеза о ловушке верна, то ее можно точно охарактеризовать результатом Вудалла: это псевдолеса, в которых нет цикла длины четыре и не более одного нечетного цикла.[1][9]

Доказано, что любой граф циклов, кроме C4 имеет вложение Тракла, которое показывает, что гипотеза верна острый. То есть есть треки, имеющие такое же количество пятен, что и пути. С другой стороны, наихудший сценарий состоит в том, что количество точек вдвое превышает количество путей; это тоже достижимо.

Гипотеза о треке, как известно, верна для треков, нарисованных таким образом, что каждое ребро является Икс-монотонная кривая, пересекаемая не более одного раза каждой вертикальной линией.[3]

Известные границы

Ловас, Пах и Сегеди (1997) доказал, что каждый двудольный thrackle - это планарный граф, хотя и нарисован не планарно.[1] Как следствие, они показывают, что любой анализируемый граф с п вершин не более 2п - 3 ребра. С тех пор эта оценка улучшалась несколько раз. Во-первых, его улучшили до 3 (п − 1)/2,[10] и еще одно улучшение привело к примерно 1,428п.[11] Более того, метод, использованный для доказательства последнего результата, дает для любого ε> 0 конечный алгоритм, который либо улучшает оценку до (1 + ε)п или опровергает гипотезу. Текущий рекорд связан с Фулек и Пач (2017), который доказал оценку 1,3984п.[12]

Если гипотеза неверна, минимальный контрпример имел бы форму двух четных циклов, имеющих общую вершину.[9] Поэтому, чтобы доказать гипотезу, достаточно доказать, что графы этого типа не могут быть нарисованы как следы.

Рекомендации

  1. ^ а б c Ловас, Л.; Пах, Дж.; Сегеди, М. (1997), «О догадке Конвея», Дискретная и вычислительная геометрия, 18 (4): 369–376, Дои:10.1007 / PL00009322, МИСТЕР  1476318. Предварительная версия этих результатов была рассмотрена в О'Рурк, Дж. (1995), «Вычислительная геометрия, столбец 26», Новости ACM SIGACT, 26 (2): 15–17, arXiv:cs / 9908007, Дои:10.1145/202840.202842.
  2. ^ а б Эрдеш, П. (1946), "На наборах дистанций п точки" (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 53: 248–250, Дои:10.2307/2305092.
  3. ^ а б Пах, Янош; Стерлинг, Итан (2011), «Гипотеза Конвея для монотонных треков», Американский математический ежемесячный журнал, 118 (6): 544–548, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.06.544, МИСТЕР  2812285.
  4. ^ Хопф, Х.; Паннвиц, Э. (1934), "Aufgabe Nr. 167", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 43: 114.
  5. ^ Эппштейн, Дэвид (Май 1995 г.), "График вращающегося суппорта", Свалка Геометрии
  6. ^ О том, что график вращающегося штангенциркуля содержит все пары диаметров, см. Шамос, Майкл (1978), Вычислительная геометрия (PDF), Докторская диссертация, Йельский университет. О том, что пары диаметров образуют зажим, см., Например, Пач и Стерлинг (2011).
  7. ^ Грэм, Р. Л. (1975), «Самый большой маленький шестиугольник» (PDF), Журнал комбинаторной теории, Серия А, 18: 165–170, Дои:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
  8. ^ Конвей, Джон Х., Пять проблем по 1000 долларов (обновление 2017 г.) (PDF), Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей, получено 2019-02-12
  9. ^ а б Woodall, D. R. (1969), "Thrackles and deadlock", на валлийском языке, D. J. A. (ed.), Комбинаторная математика и ее приложения, Academic Press, стр. 335–348, МИСТЕР  0277421.
  10. ^ Cairns, G .; Николаевский Ю. (2000), "Границы обобщенных треков", Дискретная и вычислительная геометрия, 23 (2): 191–206, Дои:10.1007 / PL00009495, МИСТЕР  1739605.
  11. ^ Fulek, R .; Пах, Дж. (2011), "Вычислительный подход к гипотезе Тракла Конвея", Вычислительная геометрия, 44 (6–7): 345–355, arXiv:1002.3904, Дои:10.1007/978-3-642-18469-7_21, МИСТЕР  2785903.
  12. ^ Fulek, R .; Пач, Дж. (2017), Thrackles: улучшенная верхняя граница, Международный симпозиум по рисованию графиков и визуализации сетей, стр. 160–166, arXiv:1708.08037, Дои:10.1007/978-3-319-73915-1_14.

внешняя ссылка